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《高等数学(2017高教五版)课件二元函数的极限(工科类).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、二元函数的极限二、累次极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.§2二元函数的极限数学分析第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容定义1设二元函数定义在上,为D的一个若使得当时,都有则称在D上当时以A为极限,记作§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限二元函数的极限聚点,A是一实数.后退前进目录退出当P,分别用坐标表示时,上式也常写作在对不致产生
2、误解时,也可简单地写作§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限于是有例1依定义验证证因为当时,就有这就证得所以§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限例2设证明证(证法一)§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限可知故注意不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求即而并不要求§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限(证法二)作极坐标变换等价于(对任何).由于因此，对任何都有§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限这时推论1
3、定理16.5下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).的充要条件是：只要仍是E的聚点,就有则也不存在．§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限对于D的任一子集E,若,P0是E1的聚点,使不存在,推论3推论2若是它们的聚点，极限存在的充要条件是：条件它所对应的函数列都收敛．§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限使得则不存在．但都存在，D中任一满足例3讨论当时是否存在极限．解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)由于,因此有这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,的极
4、限值不相同，因而所讨论的极限不存在．§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限时，对应如图16-15所示,当(x,y)§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限相应的都趋于0,沿任何直线趋于原点时,时的极限为0.因为当(x,y)沿抛物线但这并不表明此函数在趋于点O时,将趋于1.所以极限不存在.例5讨论在时不存在极限．解利用定理16.5的推论2,找出两条路径,使得时,得到两个相异的极限．§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限第一条路径简单地取此时有第二条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致极限不
5、为0.的一种有效选择是取这就达到了预期的目的．§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限按此思路此时得到定义2设D为二元函数f的定义域，是D的一若使得则称f在D上当时,有非正常极限,记作或仿此可类似地定义：§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限一个聚点.例6设.证明证此函数的图象见下图§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限因,故对这就证得结果．二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,同,这里不再一一叙述.看作点函数别把时,相应的证法也相§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限只需取特任何方式趋于这种
6、极限也称为重极限.下面要考察x与y依一定的先后顺序,相继趋于在上面讨论的中,自变量是以与时f的极限,这种极限称为累次极限.累次极限§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限定义3如果进一步还存在极限则称此L为先对后对的它一般与y有关,记作累次极限,记作§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限类似地可以定义先对y后对x的累次极限:注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限从而又有这说明f的两个累次极限都存在而且相等.同理可得时
7、的重极限不存在.§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限但当时,有由例3知道当例7设.当沿斜率不同的直线时,有因此该函数的重极限不存在.例8设,累次极限分别为§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限它关于原点的两个例9设,这是因为对任何时,f的第二项不存在极限.项当时也不存在极限.故按定义知道时f的重极限存在,且§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限个累次极限都不存在.它关于原点的两同理,f的第一但是由于定理16.6若f(x,y)的重极限与累次极限都存在,证设则使得当时,有另由存在累次极限之假设,对任
8、一满足不等式§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限则两者必定相等.的x,存在极限回到不等式(1),让其中,由(3)可得故由(2),(4)两式,证得,即由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限推论2推论1,若重极限和累次极限都存在,若累次极限都存在但不相等,不存在.§2二元函数的极限二元函数的极限累次极限则三者必定相等.必定则重极限注意:(i)定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必
