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《高等数学(2017高教五版)课件多元函数的极值及其求法(工科类).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十讲多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值问题三、条件极值一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法最值一元函数的极值与最值回顾:定义在x0的邻域内f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0)极值在定义域内f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0)局部概念、区别整体概念若最值在区间内部取得，则最值一定是一个极值联系存在条件必要条件极值点(可导)驻
2、点极值嫌疑点驻点不可导点充分条件第一条件极值嫌疑点左右侧一阶导数的符号第二条件驻点处二阶导数的符号求法极值明确定义域求驻点和不可导点判定最值比较函数值最值在内部取得实际意义一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.定义例1(极小值)设函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的内点.在(x0,y0)有极大值若存在P0的某个邻域U(P0),使得对于该邻域内异于
3、P0的任何点(x,y)都有:点(x0,y0)称为函数则称函数f(x,y)f(x,y)的极大值点(极小值点).极大值和极小值统称为使得函数取得极值的点称为极值点.极值,一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法使偏导数都为0的点称为驻点.例如:驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.定理1若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有:注几何意义:曲面z=f(x,y)在驻点处的切平面平行
4、于xoy面.(1)(2)函数在一点处偏导数不存在,也可能取得极值.(3)例如:在(0,0)处偏导数不存在,但取得极小值.令则:1)当AC－B2>0时,具有极值A<0时取极大值;A>0时取极小值.定理2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又2)当AC－B2<0时,没有极值3)当AC－B2=0时,不能确定,需另行讨论.则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下:一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件（四）求法一、多元函数的极值（一）引言（二）定义（三）存在条件
5、（四）求法令则:1)当AC－B2>0时,具有极值A<0时取极大值;A>0时取极小值.定理2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又2)当AC－B2<0时,没有极值3)当AC－B2=0时,不能确定,需另行讨论.则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下:例2求的极值.多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值问题三、条件极值求法(1)求出f(x,y)在D内的所有驻点及驻点处的函数值;(2)求出f(x,y)
6、在D的边界上的最大值和最小值;(3)上述函数值中，最大者为最大值，最小者为最小值.注上述求法中无须驻点处取得极值的情况假定(1)f(x,y)在有界闭区域D上连续；(2)f(x,y)在D内可微分且只有有限个驻点.(1)(2)若根据问题的性质可以断定f(x,y)的最值在D内部取得,而函数在D内只有一个驻点,则函数在该点处取得最值.例3某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?例4有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,最大?问怎样折法才能使断
7、面面积x24多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值问题三、条件极值极值无条件极值条件极值条件极值的求法代入法对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例,问题1．在条件下,求函数的极值无条件极值极值无条件极值条件极值条件极值的求法代入法对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例,问题1．在条件下,求函数的极值拉格朗日乘数法2．对x和y分别求偏导数与附加条件联立拉格朗日函数可能的极值点拉格朗日乘数法的推广(自
8、变量对于两个,条件多于一个)例,在附加条件下的极值.求函数作拉格朗日函数:求其一阶偏导数，与两个附加条件联立，得方程组:解方程组,得出的即为可能极值点.例5求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.例6注在实际问题中往往可根据问题本身的性质判定用拉格朗日乘数法求得的点是否为极值点.求函数在附加条件下的极值.注判定用拉
