高等数学(2017高教五版)课件定积分的概念(工科类).ppt

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1、在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.§1定积分的概念数学分析第九章定积分三个典型问题1.设求曲边梯形A的面积S(A),其中yxO后退前进目录退出2.已知质点运动的速度为求从时刻3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为求线状物体的质量m.显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情a到时刻b,质点运动的路程s.情况下，可以用简单的乘法进行计算.以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合中心思想：“有变化”的情形,如何来解决这些问题呢？理地

2、归为一类特殊和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代,而现在遇到的问题是“非常值”、“不均匀”、每个虽然为此会产生误差，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.但当分割越来越细的时候,一分为二yxO一分为四yxO一分为八yxO一分为nyxO可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.过程呢？1.分割：a即在上插入个分点如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的这可以分三步进行.把曲边梯形A分成n个小曲边梯形2.近似:3.逼近：当分割越来越细时

3、,和式问题是：越细？就会越来越小.下面依次讨论这两个问题.与曲边梯形的面积因此黎曼和不管分割多么细，小曲边梯形终究不是矩形,S总有差别.来表示分割T越来越细,的长度不趋于0.就能保证分割越来越细.因为可能某些对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和给定的的极限.能够找到总结以上分析，下面给出定积分定义.定义1并称J为f在[a,b]上的及任意定积分,记作注1列极限，也不是函数极限.注2中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,因此定积分的极限既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f(x)在每个小区间[x

4、i–1,xi]上变化不大,要求f(x)有某种程度上的连续性.显然要求这相当于[a,b]上的一致连续性,可证f(x)在[a,b]上可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.解例1存在.以后将知道f(x)在[a,b]上连续时,利用f(x)在则此时黎曼和的极限化为的极限.为方便起见,令于是这里利用了连续函数的可积性.可取特殊的分割(等分)和特殊的介点因为可积,所以注3.积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和规定注4.为了以后讨论方便，定积分作为和式的极限，它的值只与被积函数和与

5、积分变量用什么字母表示无关,即积分区间有关，