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1、*§3上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过一、上(下)极限的基本概念程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下二、上(下)极限的基本性质返回一、上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:定义1若数列满足:在数的任何一个邻域内均含有中的无限多项,则称x0是数列常数列只有一个聚点:a.的一个聚点.限多个项”.现举例如下:前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含
2、有无定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大但作为数列来说,它却有两个聚点:有五个聚点:数列从数列聚点的定义不难看出,x0是数列的聚作为点集来说它仅有两个点,故没有聚点;点的一个充要条件是:存在的一个子列聚点和最小聚点.又设由于E非空有界,故由确界原理,存在下面证明是{xn}的最大聚点,亦即证设为有界数列,由致密性定理,存在一个的一个聚点.收敛子列于是首先,由上确界的性质,存在使存在使存在使的无限多项.现依次令存在使因为是的聚点,所以对任意正数在区间这样就得到了{xn}的一个子列 满足:同理可证定义2有界数列的最大聚点与最小聚点分别称为的上、下极限,记为即
3、证得注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的;但是有界数列数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过这样,上、下极限的优越性就显现出来了:一个例1考察以下两个数列的上、下极限:从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文.二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义,立即得出:定理7.5对任何有界数列有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.定理7.6有界数列存在极限的充要条件是:(1)(2)证设对于任意正数在之外只有有限项.这样,
4、对任意的若只有有限项.这就是说,B不是的聚点,故仅有一个聚点A,从而那么在内(此时必取反之,若上式成立,则的聚点惟一(设为A),一的假设相矛盾.另一聚点,导致与聚点惟性定理,这无限多项必有的无限多项.由致密之外含有使得在倘若不然,则存在此时易证定理7.7设为有界数列,则有的充要条件是:对于任意的(i)存在N,当n>N时,的充要条件是:对于任意的(i)存在N,当n>N时,证在形式上是对称的,所以仅证明.必要性设因为A是的一个聚点,使得所以存在故对于任意的存在当k>K时，将中的前面K项剔除,这样就证明了(ii).上,至多只含的有限项.不然的话,因为有界,故在上还有聚点,
5、这与A是最大聚点相矛盾.设这有限项又因A是的最大聚点,所以对上述在区间,e的最大下标为N,那么当n>N时,充分性任给综合(i)和(ii),在上含有{xn}的无限项,即A是{xn}的聚点.而对于任意的这说明在定理7.8(保不等式性)设{xn},{yn}均为有界数{xn}的有限项,故不是{xn}的上也至多只有从而有聚点,所以A是的最大聚点.列,并且满足:存在当n>N0时,有则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:证设因为B是{yn}的聚点,所以存在,特别若则更有故存在的一个收敛子列,(3)(4)同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由又因(1)与(3)式直接推
6、得.的最小聚点A理应满足的聚点,它与也是.由于的极限,便得取证这里只证明(i),(ii)可同理证明.设由定理7.7,存在N,当n>N时,(5)(6)例1都是有界数列,那么设再由定理7.8的(4)式,得因为是任意的,故注这里严格不等的情形确实会发生,例如故例2设,且求证的全体聚点的集合为证设E是的全体聚点的集合,显然有内仅含的有限项:在任给,欲证如若不然,则存在之内.又因所以存在这就是说,当时,所有的均不在当n>K时,由(7)导致所有的或者都有或者都有前者与B是的聚点矛盾;后者与A是的聚点矛盾.故证得,即从而定理7.9设{xn}为有界数列.则有(i)A是{xn}的上极
7、限的充要条件是(ii)B是{xn}的下极限的充要条件是证这里仅证(i).设,显然是一(8)(9)递减数列,并且有界,一方面,因为另一方面,由于根据上确界定义,又因所以有同理,由于这样得到的子列因仍为有界的,故其上极限因是任意的,所以又得.从而证得照此做下去,可求得使使得求上极限,由不等式性质(4),得出亦存在,设为(10)式关于k例3用上、下极限证明:若为有界发散数列,注本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.使得为于是存在的两个子列证由定理7.6,有界数列发散的充要条件则存在的两个子列,收敛于不同的极限.例4证明:对任何有界数列有(11)(12)证根据定理7
