线性代数期末模拟试题E(附解答).pdf

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1、线性代数期末模拟试题E一单项选择题（每题3分，共18分）1．设A=(a)的特征值为1，2，3，A是行列式

2、A

3、中元素a的代数余子式，ij3×3ijij－1则

4、A

5、(A+A+A)＝（）112233211111a.；b.；c.；d.6。663001a11a12a13mn2．已知P=010，A=a21a22a23，若PAP=A，则以下选项中正确的是（）100aaa313233a.m=5，n=4；b.m=5，n=5；c.m=4，n=5；d.m=4，n=4。3．n维向量α,α,?α(3≤s≤n)线性无关的充要条件是（）12s

6、a．存在不全为零的数k,k,?k，使kα+kα+?+kα≠0；12s1122ssb．α,α,?α中任意两个向量都线性无关；12sc．α,α,?α中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；12sd．α,α,?α中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。12s4．设A，B是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中k，k为任意常数）（）12∗∗∗∗∗∗∗∗a.A＋B；b.A−B；c.AB；d.kA＋kB。122a2∗∗5．已知矩阵A=22a，伴随矩阵A≠0，且Ax=0有非零解，则（）a22a.a=2；b.a=2或a=−4；c.a=−4；

7、d.a≠2且a≠−4。6．设α，β是非齐次线性方程组(λE−A)x=b的两个不同的解，则以下选项中一定是A对应特征值λ的特征向量为（）a.α+β；b．α−β；c．α；d．β。A卷第1页共6页二填空题（每题3分，共18分）010337．设行列式D=200，Aij是D中元素aij的代数余子式，则∑∑Aij＝。ij==11003TT−18．设A是实对称可逆矩阵，则将f=XAX化为f=YAY的线性变换为____________________。1−119．设矩阵A=24x有特征值6，2，2，且A能相似于对角阵，则x＝_________________

8、_。−3−35T10．已知α≠0是n维实列向量，矩阵A=E−kαα，k为非零常数，则A为正交矩阵的充分必要条件为k=。111111.设A=a1a2a3，b=1，其中ai互不相同，i=1,2,3，a2a2a21123T则线性方程组Ax=b的解是。22212．若实二次型f(x,x,x)=x+2λxx＋2x+4x为正定二次型,12311223则λ的取值范围为。三计算题（每题8分，共48分）xx?xx+y12n−1nxx?x+yx12n−1n13．计算n阶行列式：D=?????。xx+y?xx12n−1nx+yx?

9、xx12n−1nA卷第2页共6页x1+x2=114．已知线性方程组x1−x3=1，x+ax+x=b123（1）试问：常数a，b取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。11a115．设A=1a1，β=1，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一。试求：a11−2T（1）a的值；（2）正交矩阵Q，使得QAQ为对角矩阵。A卷第3页共6页1000*0100−1−116．设矩阵A的伴随矩阵A=，且ABA=BA+3E。求矩阵B。10100−308317．

10、已知线性空间R的基α，α，α到基β，β，β的过渡矩阵为P，且123123101221α1=0，α2=1，α3=2；P=32−2102430试求：(1)基β，β，β；(2)在基α,α,α与β,β,β下有相同坐标的全体向量。123123123A卷第4页共6页218．设A为三阶实对称矩阵，且满足A+A−2E=0已知A对应特征值λ=1的特征向量有()TTnα=0，1，0,α=(1，0，1)。试求：矩阵A，A。其中n为自然数。12四证明题（每题8分，共16分）219．设A为n阶矩阵，已

11、知秩r(A)=r(A)。试证：23(1)线性方程组Ax=0，Ax=0同解；(2)r(A)=r(A)。A卷第5页共6页20．设α，α，α是n维非零实向量，β=kα+kα，k，k为使得β≠0的任意常数。123112212以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。(1)若α与α正交，且α与α也正交，则α与β正交。31323(2)若α与α线性无关，且α与α也线性无关，则α与β线性无关。31323A卷第6页共6页参考答案一选择题bdcacb−1二填空题7.－11；8.X=AY；9.x=−2；2T10．k=；11.(100)；12.λ∈(−2,2)。2

12、α

13、三计

14、算题n(n−1)n2n−113.D=(−1)y(y+∑xi)。i=11101