线性代数模拟试题解答.doc

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1、线性代数模拟试题解答模拟试题一一、1.1，2，3；2.3.1；4.-3，0；二、1.D；2.D；3.A；4.B；三、解四解

2、P

3、=-1¹0,P可逆,用初等行变换求出P-1五、七、解⑴可以断言能由线性表出.证明：因为已知向量组线性无关，故其部分组也线性无关；又知向量组线性相关，所以能由线性表出.⑵可以断言不能由线性表出.用反证法：设能由线性表出，即存在常数，使得，又由⑴知能由线性表出，即有，代入上式得13即能由线性表出，从而向量组线性相关，与已知矛盾.所以不能由线性表出.八、解,则，，.九、所以13模拟试卷二解答一、；二、

4、1.C；2.D；3.D；三、解.五、解13八、解(1)二次型对应矩阵A=,由秩(A)=2,得.13模拟试卷三解答一、1.2；2.；3.x=0,y=1；4.；5.1；二、1、B；2、D；3、A；4、B。三、解==当且时由克莱姆法则方程组有唯一解。当时，增广阵为，这时，方程组有无穷多解，通解为当时，方程组的增广阵为13这时，方程组无解。四、解因为AB+E=A2+BAB-B=A2—E，（A-E）B=（A-E）（A+E），可逆所以B=A+E即五、解设特征值为0.1，4，我们可直接写出曲面的标准方程是：，该曲面表示的是椭圆柱面，母

5、线平行于轴，准线在面上为。六、证明由知2是A的特征值，同理由知1，-1也是A的特征值，又由A是三阶方阵，A有三个不相等的特征值，所以A一定与相似。七、证（证法一）因为A非奇异，即A可表为一系列初等矩阵的乘积，AB表示A左乘B即为对B做一系列的初等行变换，这样不改变B的秩，所以有秩C=秩（AB）=秩B同样BA表示对B进行一系列的初等变换经不改变B的秩，所以秩D=秩（AB）=秩B。八、解由13九、解化成上三角行列式计算，分别将第2列1/a1倍，第3列1/a2倍，…，第n+1列1/an倍加到第1列，模拟试卷四解答一、1、2、；

6、3、4、

7、A

8、=-15、；6、秩为3；线性相关；；7、二、1、√2、√3、×4、×5、√6、×三、1、解当且时，方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。13当时，这时方程组有无穷多解。2、解（1）（2）（3）通解：；（4）基础解系3、解设有是一组不全为零的数。，即＝＝0这表明该议程有非零解，即，即，也就是。4、解由正交阵定义，即得，也就是13四、1、证明（反证法）如果线性相关，则有一组不全为0的系数使=（1），由已知设，结合（1）式得（2）由于不完全为零，则，，必与不同，这样已有两种表示，与表示

9、法惟一相矛盾，证毕。2、证明由，且得，这表示行向量组可由行向量组线性表示，由于是由线性无关的行（列）向量组构成的，这时必有的行也是线性无关的，这样与行向组等价，与有同解，即与同解，而只有零解，所以也只有零解。3、证明因为线性方程组，当秩时，基础解系为个，由则有，即B的列均为的解，这些列的极大线性无关组的向量个数≤即秩(，从而秩。模拟试卷五解答一、1、；3、；4、的秩为3，解空间维数为1；5、k=-3；6、二次型正定的充要条件是。二、1、C2、D3、A4、B5、C；三、1、解A可逆，求得，可逆，求得13，2、解=当和时方程

10、有惟一解当时，，这时方程组无解当时，这时方程组有无穷多解，且通解为，3、解特征值为：时，时，时，分别对应的特征向量为。13四、1、证明由两边左乘C得两边转置后得，这表明A可逆且有2、证明由可知为正交阵，，得，所以由A为正交阵，有，即3、证明（反证法），如果线性相关，而存在不全为零的数，使（1），（1’）=即=0（因为），因为，所以必有=0由（1’）（1），=0因为是的基础解系，对=0，必有，进而推出，这与假设矛盾，所以时线性无关的。模拟试卷六解答一、1、-125；2、秩相同；3、；4、；5、；6、.二、1、A；2、A；3

11、、C；4、B；5、A.；三、1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、×；四、1、解由,得，因为，所以可逆13，即2、解（1）当时，方程组有非零解，其通解为为任意常数。（2）解空间的基为，解空间的维数为1，解空间3、解设为二次型的矩阵，由条件。五、1、证明由设得因为即矩阵，所以齐次线性方程组有非零解（可看做有一组非零解）。这表明132、证明（1）由己知显然得仍是的解（2）证线性无关即可，设有即由于是线性无关的，所以有又因为，这表明线性无关。即是的基础解系。13