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1、《线性代数》（2学分）试卷--1线性代数试卷一、（24分）填空题：−1211．设阶方阵nA的行列式A=2，则A⋅A=22．设A为阶可逆阵，则下列nC恒成立。−1−1−1T1T−（A）()22A=A（B）(22AA)=()T1−−1T−−11T1−（C）⎡⎤()AA−1T=⎡()⎤（D）⎡()AAT1⎤⎡=()−⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎢⎦⎣⎥⎦3．若向量组a,a,?,a可由另一向量组b,b,?,b线性表示，则C。12r12s（A）r≤s（B）r≥s（C）a,a,?,a的秩≤b,b,?,b的秩（D）a,a,?,a的秩≥b,b,?,b的秩12r12s12r12s⎧kx+kx+=x0123
2、⎪4．当满足k时，齐次线性方程组⎨2xk+xx+=0有非零解。123⎪⎩kx−20x+=x1235．若齐次线性方程组的一个基础解系为ξξξ,,，则D也是该其次线性方程组的基础解123系。（A）ξξξξξξ++−,,（B）ξξξξξξ+,,−+122331122331（C）ξξξξξξ−++,,（D）ξξξξξξ+,,++1223311223316．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随阵A*的秩为0。⎛⎞001⎜⎟7．矩阵A=010的三个特征值为1，1，-1。⎜⎟⎜⎟100⎝⎠⎛⎞11022⎜⎟8．二次型f()xxx,,=+x2xx+3x的矩阵A=130。1231122⎜⎟⎜⎟000⎝⎠00
3、abab00二、（8分）计算4阶行列式D=。00baba00《线性代数》（2学分）试卷--2ab0000abD=ba0000baab0000ab=00baba00222=−()ab⎛⎞102⎜⎟22n三、（10分）设A=001，计算A−A（为正整数）。n⎜⎟⎜⎟010⎝⎠⎛⎞1222⎜⎟A=010⎜⎟⎜⎟001⎝⎠⎛⎞1442⎜⎟A=010⎜⎟⎜⎟001⎝⎠⎛⎞122nn2n⎜⎟A=010⎜⎟⎜⎟001⎝⎠⎛⎞02222nn−−22n⎜⎟AA−=000⎜⎟⎜⎟⎝⎠000⎛⎞010⎛⎞100⎛143−⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟四、（8分）设100X001=201−，求X。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠001
4、⎜⎟⎝⎠010⎜⎝120−⎟⎠−11−⎛⎞010143100⎛−⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟X=−100201001⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠001120010⎜⎝−⎟⎠⎜⎟⎝⎠⎛⎞010143100⎛−⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−100201001⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠001120010⎜⎝−⎟⎠⎜⎟⎝⎠⎛⎞210−⎜⎟=−134⎜⎟⎜⎟⎝⎠102−《线性代数》（2学分）试卷--3⎛⎞1⎛⎞2⎛⎞3⎜⎟⎜⎟⎜⎟五、（10分）设向量组α1=⎜⎟4,α2=⎜⎟k,α3=⎜⎟1线性相关，求常数；并找出一组最大k⎜⎟⎝⎠3⎝⎠⎜⎟−1⎜⎟⎝⎠2无关组以及用该最大无关组表示其余向量。123ααα,,==4k1012
5、3312−k=−3⎛⎞1⎛⎞2⎜⎟⎜⎟α1=⎜⎟4，α2=⎜−3⎟是最大无关组⎜⎟⎝⎠3⎜⎟⎝⎠−1ααα=+312六、（14分）已知线性方程组为⎧xxxx+++=11234⎪⎪xxxx+++=3531234⎨xxxx−−+=353⎪1234⎪x−51xxx−+=112k⎩1234求，使得上述方程组有解，并求出所有的解。k⎛⎞11111⎜⎟13513B=⎜⎟⎜⎟11353−−⎜⎟⎝⎠1−−51112k⎛⎞1010−−1⎜⎟01201~⎜⎟⎜⎟00011⎜⎟⎝⎠0000k−16k=16时上述方程组有解⎛⎞⎛⎞11−⎜⎟⎜⎟-21x=c⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟10⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠01⎛200⎞
6、⎜⎟七、（16分）设对称矩阵A=⎜031⎟，已知A有二重特征值λ12=λ=2，⎜⎟⎝01x⎠1．求x和另一个特征值λ；32．求A的所有特征向量；《线性代数》（2学分）试卷--4⎛⎞λ1−1⎜⎟3．求一个正交矩阵P，使得PAP=λ。⎜⎟2⎜⎟λ⎝⎠3200A==λλλ,03122⋅⋅λ123301xaaa++=++λλλ，23++=++x22λ1122331233x==3,λ43⎛⎞1⎛⎞0⎜⎟⎜⎟λ==λ2对应的特征向量p=0，p=−1121⎜⎟2⎜⎟⎜⎟⎝⎠0⎜⎟⎝⎠1⎛⎞0⎜⎟λ=4对应的特征向量p=133⎜⎟⎜⎟1⎝⎠⎛⎞⎜⎟100⎜⎟⎛⎞λ1⎜⎟11−1⎜⎟正交矩阵P=−0可
7、使PAP=λ⎜⎟⎜⎟2⎜⎟22⎜⎟λ⎝⎠3⎜⎟11⎜⎟0⎝⎠22八、（10分）证明题：1.设向量aa,,,?a都是非齐次线性方程组Ax=b的解，数kk,,,?k满足12s12skk+++=?k1，则向量kkaa+++?ka也是该方程组的解。12s1122ssA()kk11aa+++=+++22??kkksaAss1aA12a2kAas=+++kkbb?kb12s=+++=()kk12?ksbbT2.A为阶方阵，nx,y是维列向量，并且nAx=0，Ay=2y
