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1、3学时线性代数期终试卷1线性代数试卷一、（24分）填空题：OA1n1．设A,A都是阶方阵，则nA==(−1)AA1212AO2*1**2．A是阶方阵nA的伴随阵，A=，则(2A)=2A23．设A是阶可逆阵，nB是n阶不可逆阵，则（D）（A）A+B是可逆阵（B）A+B是不可逆阵（C）AB是可逆阵（D）AB是不可逆阵⎛102⎞⎛341⎞⎜⎟⎜⎟4．已知A=⎜335⎟，B=⎜12a⎟，并且AX=B，要使R(X)=2，则a=1⎜⎟⎜⎟⎝205⎠⎝462⎠5．n维向量组α,α,α(n>3)线性无关的充分必要条
2、件是（D）。123（A）α,α,α中任意两个向量线性无关123（B）α,α,α全是非零向量123（C）存在维向量nβ，使得β,α,α,α线性相关123（D）α,α,α中任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示1236．设A是4×5矩阵，R(A)=2，B是5×5矩阵，B的列向量都是齐次线性方程组Ax=O的解，则R()B的最大数为3。7．n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是（C）（A）A有个互不相同的特征值（B）nA有n个互不相同的特征向量−1（C）A有个线性无关的特征向量（D）存在正交阵nP，使得P
3、AP为对角阵38．3阶方阵A满足2A+3E=0，A−E=0，A=0，则A的3个特征值为,0,1−23学时线性代数期终试卷2a+1111−1a−1−1−1二、（8分）计算4阶行列式D=。11a+11−1−1−1a−1aaaa−1a−1−1−1D=11a+11−1−1−1a−11111−1a−1−1−1=a11a+11−1−1−1a−111110a00=a00a0000a4a⎛1−22⎞⎜⎟8三、（10分）设f(x)=x−6400,A=⎜−212⎟,求f(A)。⎜⎝221⎟⎠⎛1−22⎞⎛1−22⎞⎛9
4、00⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟2A=⎜−212⎟⎜−212⎟=⎜090⎟⎜⎝221⎟⎠⎜⎝221⎟⎠⎜⎝009⎟⎠42⎛900⎞⎛8100⎞⎜⎟⎜⎟82A=⎜090⎟=⎜0810⎟⎜⎟⎜2⎟⎝009⎠⎝0081⎠8f(A)=A−6400E⎛16100⎞⎜⎟＝⎜01610⎟=161E⎜⎟⎝00161⎠3学时线性代数期终试卷3⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟四、（12分）已知向量组β1=⎜0⎟,β2=⎜m⎟,β3=⎜1⎟与向量组α1=⎜1⎟,α2=⎜2⎟有相同的秩，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝2⎠⎝0⎠
5、⎝n⎠⎝1⎠⎝3⎠并且β可由α,α线性表示，求m,n的值。312β可由α,α线性表示，即β，α,α线性相关312312α,α,β=0，解得n=1123β,β,β与α,α有相同的秩，即β,β,β的秩为212312123111β,β,β=0，即0m1=0，解得m=2123201⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟3五、（10分）试求R中的向量x在一组基向量α1=⎜0⎟,α2=⎜1⎟,α3=⎜0⎟下的坐标⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝0⎠⎝1⎠⎛1⎞⎛2⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟x1,x2,x3变换到另一组基β1=⎜2⎟,β2
6、=⎜1⎟,β3=⎜−2⎟下的坐标y1,y2,y3的变换关系⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝2⎠⎝−2⎠⎝1⎠式。⎛x1⎞⎜⎟x=x1α1+x2α2+x3α3=()α1,α2,α3⎜x2⎟⎜x⎟⎝3⎠⎛y1⎞⎜⎟x=y1β1+y2β2+y3β3=()β1,β2,β3⎜y2⎟⎜y⎟⎝3⎠⎛y1⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟()()β1,β2,β3⎜y2⎟=α1,α2,α3⎜x2⎟⎜y⎟⎜x⎟⎝3⎠⎝3⎠⎛y1⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟()−1()⎜y2⎟=β1,β2,β3α1,α2,α3⎜x2⎟⎜⎟⎜⎟yx⎝3⎠⎝3⎠3学时线性代数期终试卷
7、4−1⎛122⎞⎛100⎞⎛x1⎞⎛122⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟1⎜⎟⎜⎟=⎜21−2⎟⎜010⎟⎜x2⎟=⎜21−2⎟⎜x2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟3⎜⎟⎜⎟2−21001x2−21x⎝⎠⎝⎠⎝3⎠⎝⎠⎝3⎠⎛112⎞⎛x1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟六、（12分）已知线性方程组⎜101⎟⎜x2⎟=⎜2⎟有无穷多解，求a,b的值，并求出通⎜53a+8⎟⎜x⎟⎜b+7⎟⎝⎠⎝3⎠⎝⎠解。⎛1121⎞⎛1012⎞⎜⎟⎜⎟⎜1012⎟~⎜011−1⎟⎜⎟⎜⎟⎝53a+8b+7⎠⎝00ab⎠a=b=0时，方程组有无穷多解⎛
8、−1⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟x=c⎜−1⎟+⎜−1⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝0⎠⎛a−20⎞⎜⎟七、（14分）设对称矩阵A=⎜−20−2⎟满足A+3E=0，⎜⎟⎝0−2−1⎠1．求；a2．求A的所有特征值和对应的特征向量；−13．求一个正交矩阵P，使得PAP为对角阵。由A+3E=0解得a=11−λ−20由A−λE=−2−λ−2=0解得λ=,0λ=−,3λ=31230−2−1−λ⎛−2⎞⎛1⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟对应的特征向量为p1=⎜−1⎟p2=⎜2⎟p3=⎜−2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝2⎠⎝
