《线性代数》模拟试题

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1、《线性代数》模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共27分）1.对于阶可逆矩阵，，则下列等式中（）不成立.(A)(B)(C)(D)2.若为阶矩阵，且，则矩阵（）.（A）（B）（C）（D）3.设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（）.(A)全都非负（B）不全为零（C）全不为零（D）没有限制4.设，，，，那么（）.（A）（B）（C）（D）5.若向量组线性相关，则向量组内（）可由向量组其余向量线性表示.（A）至少有一个向量（B）没有一个向量（C）至多有一个向量（D）任何一个向量6.若，其秩（）.（A）1（B）2

2、（C）3(D)47.若方程组中方程的个数小于未知量的个数，则有（）.（A）必有无穷多解（B）必有非零解（C）仅有零解（D）一定无解8.若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）.（A）（B）（C）（D）9.若满足条件（），则阶方阵与相似.（A）（B）（C）与有相同特征多项式（D）与有相同的特征值且个特征值各不相同二、填空题（每空格3分，共21分）1.若向量组线性无关，则向量组是线性.2.设为4阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数是.3.设，，线性相关，则.4.设，则.5.设三阶方阵有特征值4，5，6，则，的特征值为，

3、的特征值为.三、计算题（共42分）1.（6分）计算行列式2.（8分）已知矩阵，求.3.（10分）设三阶方阵满足，其中，，，求.4．（6分）在向量空间中，取两组基：（I）（II）设在基I下的坐标为，求在基在基II下的坐标.5.（12分）取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题5分，共10分）1.设为阶可逆阵，.证明的伴随阵.2.若，都是阶非零矩阵，且.证明和都是不可逆的.《线性代数》模拟试题（一）参考答案一、单项选择题（每题3分，共27分）1.B2.B3.C4.C5.A6.B

4、7.B8.B9.D二、填空题（每空3分，共21分）1.无关；2.3；3.3；4.；6.120；4，5，6；三、计算题（7+10+10+12=39分）1.解：.2.解：先求的特征值，=，当时，由得，的对应于2的特征向量是，当时，由得，的对应于的特征向量是，当时，由得，的对应于的特征向量是，取.令，则，所以.3.解：因为，所以，因此.又，所以，故.4．解：,所以，在基II下的坐标为.5.解：，（1）当，即且时，方程组有惟一解.（2）当时，此时，方程组无解，（3）当时，，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为.四、证明题（5+5=10分）1

5、.证：根据伴随矩阵的性质有又，所以，再由于可逆，便有.2.证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；类似的，若可逆，即存在，以右乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾，因此，和都是不可逆的.《线性代数》模拟试题（二）一、选择题（每小题4分，共20分）1.设是四维列向量，且，，则（）.（A）（B）（C）（D）2.如果为三阶方阵，且，则（）.（A）4（B）8（C）2（D）163.设为阶方阵，且，则（）.（A）中必有两行（列）的元素对应成比例（B）中至少有一行（列）的元素全为0（C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性

6、组合（D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合4.设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（）.（A）（B）(C)（D）5.设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（）.（A）与相似（B）与等价（C）与有相同的特征值（D）与有相同的特征向量二、填空题（每空格3分，共27分）1.阶行列式.2.设，，，则.3.设三阶矩阵，满足，且，则.4.设四阶方阵，则.5.设向量组，，线性相关，则.6.设三阶方阵的特征值为1，2，3，则，的特征值为，的特征值为.7.设二次型为正定二次型，则的范围是.三、计算题（10+10+8+15=

7、43分）1.求向量组，，，，的秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示.2.为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解.3.三阶实对称矩阵的特征值为，，对应于特征值的特征向量为,求.4.已知二次型，（1）写出二次型的矩阵表达式;（2）用正交变换把化为标准形并写出相应的正交变换.四、证明题（5+5=10分）1.设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求其逆阵.2.设（）是阶方阵的特征值，对应的特征向量分别为，证明不是的特征向量.《线性代数》模拟试题（二）参考答案一、选择题（每题4分）1

8、.C2.A3.C4.A5.D二、填空题（每空3分）1.2.3.4.5.6.；；6，3，27..三、计算题（10+10+8+15=43分）1.解：，所以，是一个最大无关组，并且有，.2.解：，当，即且时，方程组有惟一解.当