平面运动刚体的恢复系数公式的推导.pdf

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1、第28卷第8期大学物理Vo1．28No．82009年8月C0LLEGEPHYSICSAug．2009平面运动刚体的恢复系数公式的推导张九铸(金川集团公司龙门学校，甘肃金昌737100)摘要：针对平面运动刚体的碰撞，给出了恢复系数公式的一种证明方法．关键词：平面运动；刚体；碰撞；恢复系数；质心中图分类号：0313文献标识码：A文章编号：1000-0712(2009)08-0023-02对于二体碰撞，碰撞恢复系数的一般公式fr1×JJc．(∞，一∞o1)为[，{-r2xl=Jc2(tom2-)3)=一!——(l1)e：一设碰撞之后，两个刚体

2、的角速度分别为。、，ln-I)2n恢复过程中，两个碰撞点所受冲量分别为—J．则其中。、'／)2n分别是碰撞前两个碰撞点的速度沿接触根据质心系中的角动量定理，两个刚体在恢复阶段面公法线的投影，：、分别是碰撞后两个碰撞点中有的速度沿接触面公法线的投影．本文拟就两个作平r，1×f=c．(∞1一．)面运动的光滑刚体的碰撞，从碰撞恢复系数的定义式，卜，2xl=Jc(‘t，2一∞，)这里已经考虑到因两个刚体光滑且碰撞过程中位置e=等(2)变化忽略不计，故两个碰撞点在恢复阶段所受冲量导出式(1)．，、，分别为两个刚体之间的压缩冲量和J、一，分别与J、

3、一J同向，对刚体的质心的位矢仍然恢复冲量的大小．是，l、，2．对式(3)中的两式分别矢乘，、r2，有1关于两个碰撞点的速度r(，lx1)xr1=J-，uI(-∞一m1xr1一∞01xr1)首先作3点简化：两个刚体均为光滑；碰撞过程{一(r2×J)×，：：．，：(∞：xr2-∞。：×，：)‘5中两个刚体始终作平面运动；碰撞时间极短，碰撞过设碰撞之前，两个碰撞点的速度分别为口。，、t，∞，程中两个刚体的位置变化忽略不计]．两个刚体的质心速度分别为、Vo；压缩阶段未，如图1所示，设两个刚体的质量分别为m。、m：，两个碰撞点的速度分别为t，．、

4、t，，，两个刚体的质心绕各自质心的转动惯量分别为，、．碰撞之前，速度分别为，、于是，利用公式口=toxr+V改两个刚体的角速度分别为∞。。、∞两个碰撞点相对写式(15)得到于所在刚体的质心的位矢分别为，。、，：；压缩阶段f(，lx1)xr1=．，c[(。一V)一(移ol—Vo1)]末，两个刚体的角速度分别为∞，、o,P。；压缩过程卜J(r2x1)×，2：．，‘c[(口：一y‘：)一(口0：-Vo2)](6)中，两个碰撞点所受冲量分别为j、一，．则根据质心系中的角动量定理，两个刚体在压缩阶段中有对式(6)中两式分别除以，，、．，，，之后相

5、减，整理得T+T：一(、’～U1一一。u：)十(一雷：)一(V一Vo，)+(V=2-)(7)注意到(y，一'，0。)、(，一：)分别为压缩阶段中两图1个质心速度的变化量，而。一Vo-，V：一Vo=收稿日期：2008—09—17；修回日期：2009—03—17作者简介：张九铸(1964一)，男，甘肃景泰县人，甘肃省金昌市金川集团公司总校龙门学校中学高级教师大学物理第28卷二(t，。一t，2)·e(12)，则式(7)变为以上两式左边恒不为零，所以，两式相除，并且由式(2)，即可得到_，cl+。Jc2+(击m1+去m2)，，=(13)一(口o

6、l—口02)+(口。一t，，)(8)同理，若设碰撞之后两个碰撞点的速度分别为t，、3讨论蕾，质心速度分别为y，、V2，则由式(4)可得严格讲，以上推导适用于非对心碰撞，即碰撞前-，+。J+f1+。＼ml。m2厂(9)c。c后两个刚体的质心速度不都沿着公法线的情形，此(口l一蕾2)一(t，m．一蕾m，)时，式(3)、(4)中的力矩不都为零．对于对心碰撞，碰撞前后两个刚体的质心速度都沿着公法线，图中2恢复系数的导出、分别为1T、0，以致式(3)、(4)中的力矩都为零．现在对式(8)两边标乘以通过两个接触点的公因此，这种特例的推导过程与上述略

7、有不同，式法线的单位矢量e，并且注意两个碰撞点在压缩阶(3)、(4)应为质心系中的角动量守恒定律，不过，最段末沿e向的相对速度为零，即(口。一口)‘e=0，后结果与式(11)、(12)在口、分别取订、0时的结果则有一致，这里不再赘述．[(，lx1)×，1]·e[(r2x1)xr2]·e—+—+参考文献：(1。)[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学(II)(1m+去)J～=一(v0,-v0~)～[M]．北京：高等教育出版社，2002：18．[2]高云峰，蒋持平，等．力学小问题及全国大学生力学竞如图1所示，再设，。、r2与I的夹角分

8、别为0和，赛试题[M]．北京：清华大学出版社，2003：90．[(，。x1)xr1]、[(，2x1)~r2]与e的夹角分别为、[3]朱照宣，周起钊，殷金生．理论力学(下)[M]．北京：北，并且由光滑条件知，