各类刚体转动惯量公式的推导

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1、各类刚体的转动惯量的证明21.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量JmR.m在圆环上取一质元，其质量为dmdl，dl为圆弧元，为线密度（）。该2R22质元对中心垂直轴Z的元转动惯量dJRdmRdl，圆环对该轴的转动惯量为2R232JdJRdl2RmR02mR2.转轴沿圆环直径的转动惯量J.2在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm，其弧长为dl，质元与圆心的连线和转轴Z的m夹角（微夹角）为d圆环的线密度，其中dlRd，2RmmdmdlRdd

2、.2R21该质元的转动惯量为222mmR2dJRdm(Rsin)dsind22222mR1cos2mRmR()d(cos2)d2244则圆环对该转轴的转动惯量为2222222mRmRmRmRmRJdJ(cos2)dsin204448202mR3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量J.2m在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，圆盘的质量面密度为，该圆环2R的元面积为dS2rdr，圆环的质量为d

3、mdS2rdr.23该圆环对转轴的转动惯量为dJrdm2rdr则整个圆盘的转动惯量为R2R31414mRJdJ2rdrrR02220m224.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量J(Rr).22在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm，再在该微截圆筒上取一宽度为dr，半径为r的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM（由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截dm圆筒和元圆筒看成质量为dm和dM的圆环）.圆环的面密度.22(Rr)元圆筒的面积dS2rdr元圆筒的

4、质量dMdS2rdr元圆筒对Z轴的转动惯量为RR23dJ(2rdr)r2rdrrrR1414412222r(Rr)(Rr)(Rr)222r2212222(Rr)(Rr)(Rr)dm22则整个圆筒的转动惯量为22mRrm22JdJdm(Rr).0222mR5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量J.2在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为dr，半径为r的圆环，记该

5、圆环的质量为dM。圆盘的dm面密度为.2R圆环的面积为dS2rdr，质量dMdS2rdr23圆环的转动惯量dJrdM2rdr03圆盘的转动惯量为R42RR314RRdJdJdJ2rdrrdm00002220则整个圆柱体的转动惯量为22mRmRJdJdm.02222mrmL6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量J.412在圆柱体上取一厚度为dy的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx的微细长方体，如上图。该微细长方体一端的

6、坐标为(x,z)，设该点与圆心的连线同x轴的夹角为，圆柱体的半径为r，则有xrcos,zrsin。m圆柱体的密度为2rL细微长方体的体积为dV2zdxdy，质量为dmdV2zdxdy，到转轴Z的距离为22Rgxy22222则细长方体的转动惯量为dJRgdm(xy)dV2z(xy)dxdy0r22则整个细微圆柱体的转动惯量为dJJdJ2z(xy)dxdy00rr222将xrcos,zrsin代入上式得dJ2rsin(rcos

7、y)dxdyr4r2222rdysin(yrcos)d(rcos)r0222222rdysin(yrcos)d21cos22cos212cos41由二倍角公式得sin,cos,cos2222则022222dJ2rdysin(yrcos)d201cos222cos212rdy(yr)d222222204yryr2rdy(cos2cos4)d8280222224yryr2

8、rdysin2sin48432422r(ry)dy4则整个圆柱体的转动惯量为L4222rJdJ(ry)dyL42Lr2y3r4y234L2234rLrL12422mrmL4122ml7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量J.12在棒上取一质元，质元的长度为dx，距转轴Z的距离为x，设细棒的线密度为，则5m，该质元的质量为dmdxl22质元的转动惯量为dJxdm