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《利用复积分计算一种特殊类型的定积分.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010NO.02ScienceandTechnologyInnovationHerald科技创新导报学术论坛利用复积分计算一种特殊类型的定积分吴白旺(重庆科创职业学院重庆402160)2p+¥+¥iax摘要:众所周知,我们在复变函数中曾利用留数讨论了形如:òR（cosq,sinq)dq,ò-¥R(x)dx,ò-¥R(x)edx(a>0)(当满足一定条0+¥+¥22件)这三种类型定积分的计算问题。但在实际问题当中我们还经常遇到òcosxdx,òsinxdx这种类型的积分(如在光学中经常遇00到),本文则利用构造函数法和复积分的计算法,给出了
2、这种类型积分的一种有效计算方法。关键词:复变函数复积分定积分柯西定理回路中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1674-098X(2010)01(b)-0241-01+¥2+¥+¥2p21引理1e-xdx=(说明:此结果已在数学分析中证明过,当R®+¥时,òcosxdx=òsinxdx证毕.ò0002此处证明略去)+¥+¥2p+¥2+¥222引理2.ò0cosxdx=ò0sinxdx2定理:ò0cosxdx=ò0sinxdx=42证明:构造复变函数:证明:构造复变函数:iz22,设积分f(z)=e=+coszizsin2f(z)=eiz
3、=+cosz22izsin,设积分曲线为四分之一圆形回p曲线为扇形回路,如图2所示,4iqpz=Î02路,如图1所示,则在圆周C上,Re([,]),故:izR2则在圆周C上,有limòedz=0(证明方法同引理2,略RR®+¥CRpp22iR2cos2-R2sin2i22eizdz=eReid£2eiRcos2-Rsin2Reiidppòò0òiCR0去).又沿辐角为的直线上的积分时:设z=re4(0£r£R),则由4ppp2iR2cos2-R2sin2i2-R2sin22-R2sin2复积分的参数方程法:=ò0eeReid=ò0eRd=ò
4、eRd0ppp0i42ii022pi(re)44-rizp22eedr=eedr在扇形回路内f()ze=没有奇R4-R2sinizR4-RsinjòRòR=ò0ed(令2qj=),综上可知,0£òCedz£ò0ed2R2点,则根据柯西定理得:psinpsin³422iz2Rix2iz2i40-r222òedz=òedx+òedz+eòedr=0又p=,所以sin³,即有:L0CRRpppp4+¥ix2i+¥-r2ipedx=e4edr=e4pp-2R2令R®+¥得:ò0ò0(由引理1R4-R2sinjR4-R222jp-22òed£òepd
5、=1e2020R+¥-x2p42知:òedx=)02-2R2p1-e2iz2+¥2+¥222p当R®+¥时,®0,所以,Rl®+¥imòCRedz=0即有:ò0cosxdx+iò0sinxdx=(+i)42R222iz2在四分之一圆形环路内,f()ze=在此回路内无奇点,由柯+¥2+¥22p故òcosxdx=òsinxdx=,证毕。西定理有:004iz2Rix2iz20i(iy)2Rix2òLedz=ò0edx+òCedz+òRediy=0ò0edxR2R2iz-iy=-òedz+iòedy,即:CR0R2R2iz2R22R2ò0cosxd
6、x+iò0sinxdx=-òCedz+iò0cosydy-iò0sinydyR图1图2科技创新导报ScienceandTechnologyInnovationHerald241
