定积分的计算(教案).pdf

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1、教案定积分的计算教学内容由Newton-Leibniz公式知道，函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取值之差，因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟并非原函数而是积分的值，所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。定积分计算是微积分中的基本技术，是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容：（1）定积分的分部积分法；（2）定积分的换元积分法；（3）定积分的常用计算技巧；（4）定积分的近似计算（数值积分法）。教学

2、思路和要求（1）定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合Newton-Leibniz公式得出；（2）定积分的计算有着许多特有的技巧，特别是在处理奇偶函数、周期函数和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时，常有一些简便的方法，需特别指出，注意引导学生发挥主动意识，举一反三；（3）注意在讲授数值积分时强调背景思想，并指出误差估计。教学安排一．分部积分法定理3.3.1设函数u，v在[a,b]上具有连续导数，则bbbau(x)v(x)dxu(x)v(x)aav(x)u(x)dx，

3、或bbbau(x)dv(x)u(x)v(x)aav(x)du(x)。只要把Newton-Leibniz公式和不定积分的分部积分法相结合，便可得上述定积分的分部积分公式。例3.3.1求由曲线yxsinx（0x）和x轴围成的区域的面积A。解由定积分的几何意义知，Axsinxdxxdcosx00xcosxcosxdx00sinx。0例3.3.2计算I2sinnxdx，其中n为非负整数。n0解显然，0I2sinxdx，002I2s

4、inxdxcosx21。100而对n2，有I2sinnxdx2sinn1xsinxdxn00sinn1xcosx2(n1)2sinn2xcos2xdx002n22(n1)sinx(1sinx)dx0(n1)(II)。n2n由此，可得递推关系n1II，n2。nn2n结合I和I的结果，可得n2时，01(n1)(n3)1,n为偶数,n(n2)22In(n1)(n3)2,n为奇数.n(n2)3二．换

5、元积分法从不定积分的换元法转换到定积分的换元法，要特别注意积分上、下限的对应关系。定理3.3.2设f是[a,b]上的连续函数，是定义于和间的具有连续导数的函数，其值域包含于[a,b]，且a()，b()。则bf(x)dxf[(t)](t)dt。a证因为函数f连续，故存在原函数，设Ff，于是dF[(t)]f[(t)](t)，dt即F[(t)]是f[(t)](t)的原函数。由Newton-Leibniz公式，可得bf(x)dxF(b)F(a)a

6、和f[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a)。所以上述两个积分相等。例3.3.3求半径为r的圆的面积。解设圆的中心在原点。由对称性，只须求出它在第一象限部分的面积。圆周在第一象限部分的方程为22yrx，0xr。r22因此，相应的面积为rxdx。0为计算这个积分，作变量代换xrsint，t[0,/2]，于是，dxrcostdt。变量x对应的积分区间[0,1]转换为变量t对应的积分区间[0,/2]，且t0时，x0；t时xr。这样

7、2rr2x2dxr22cos2tdt002tsin2t212rr。24402所以，整个圆的面积Ar。2x1例3.3.4计算dx。1x2解令tx1，于是xt1，dx2tdt，且x1时t0；x2时，t1。于是2x11tdx2tdt1x0t2111121dt2(tarctant)21。01t204例3.3.5计算I2cosnxdx,其中n是非负整数。n0解作变量代换xt，于是2I

8、2sinntdt。n0右端积分的值见例3.3.2。要补充说明的是，如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法，因为运算过程往往不另行写出中间变量，从而也毋须引入中间变量的变化区间。这就是说：如果f(u)duF(u)c，函数g在[a,b]上连续可微，则bbf[g(x)]g(x)dxF[g(x)]a。a例3.3.6计算2cos5xsinxdx。0解2cos5xsinxdx2cos5xdcosx001621cosx。6605易知上面的运