定积分的计算技巧

《定积分的计算技巧》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、象牙塔内2010—03定积摘分要：定积的分是微计积分算学中的技一个重巧要组成部分，其计算方法和技巧是非常丰富的。牛顿一莱布尼兹公式使定积分的计算与不定积分联系起来。但不等于说，定积分计算只是求原函数运算与N—L的简单组合。除用一些基本的定积分定义、性质、分部积分等方法外，定积分计算有着特殊的方法和技巧。本论文通过实例分析探讨了定积分计算中所采用的几种技巧，开拓解题思路，以提高我们的定积分计算能力。关键词：定积分计算方法技巧定积分是积分学的一个不易计算出来，甚至有的函数的原函数不3．利用积分顺序可交换性得，=I

2、dy基本问题，在理论研究和实能用初等函数表示出来，此时可借助于含毒际应用中，许多问题都可以参量积分。在被积函数中引入参量化成含I，y)dx归结为计算定积分的问题，参量积分或将被积函数化为含参量积分。三、巧用对称区间求定积分主可以说它是计算许多实际问利用含参量积分的性质，积分号下可求导对于积分区间关于原点对称的定积题的数学工具，因此定积分性或积分顺序可交换性计算定积分。分，可利用下面的性质和结论来计算，这样的计算是很重要的。牛顿一莱可以化简计算。布尼茨公式是计算定积分的例：计算，=f性质1：定义在对称区间[-Ⅱ

3、，nj上的任一种有效工具。但在工程实此题利用换元法已得出结果，这里再践和科学研究中，经常会遇何函数)都可以表示为一个奇函数和一用引用参量来做一下。到被积函数是这样一些函个偶函数之和。事实上，()：)一数：(1)被积函数本身形式复解：，(a)=dx于是，(o)=杂，如果按常规计算，不仅费时，而且不易0。／-1(1)，(一)】是奇函数，()：))1是偶计算出结果；(2)被积函数的原函数不能用函数，而)=()()。初等函数形式表示。这些情况都不能利用)=』：专×击=【}性质2：如果连续函数)定义在对称牛顿一莱布尼茨

4、公式方便地计算该函数的区间卜a，a】上，那么当)是奇函数时，定积分，因此就需要找一些技巧来解定积ln2+孚一1n(1)】再积分得j。，()如=分，使定积分的计算大大简化。J)如=o；当)是偶函数时，』)=}ln2-I(1)J~,21(1)=--ln2于是，=，(1)=一、巧用换元求定积分2J)dx。定积分的换元积分法：设)在，6】_E詈1n2连续，=(t)满足条件：(1)当t在，仞上变四、利用周期函数的积分性质求定积分化时：(t)在，b]t-．变化；(2)(￡)在[a，，一,dy=fZ~Iix,．x=J：鲁=

5、当被积函数是一个周期函数时，应特，别注意将积分区间巧妙地分段，作必要的』9】P,I保持定号；(3)o=(a)，6=(卢)则I，tnlf替换，简化运算，而周期函数以三角函数为r(x)dx=f())(t)dt虽然定积分与不小结其方法：最为常用的。设_，()在(一，)可积，且以rJd为周期的周期函数，a是任意实数，必有定积分通过N—L公式发生了内在联系，它一利用积分号下可求导性计算定积分把定积分的复杂计算归结为求被积函数的的方法与步骤：①J)=J。)原函数，但有时找被积函数的原函数很麻1．在所计算的定积分，J)的被

6、周期函数)在长度等于周期的任烦，更为严重的是，有些被积函数的原函数意闭区间上，定积分的值相等，与区间端点不能用初等函数表示出来，因而不能用N—积函数)中引进参量a化为含参量积分的位置无关。L公式计算，借用变量代换所换得的结果却，(a)；定积分，是，(口)的一个值，一般取可以求出定积分。，．，(a)或t=t(b)；②J。)出=nJ。)(n为整数)对于原函数不能用初等函数表示，此2．求出J’()=G(a)时用定积分的性质和换元积分法往往可以③』Josi=jJ二叫rsi=J，oc一=3．再积分l，(a)出=IG(c

7、t)&x=l(b)一使一些积分项相互抵消，最终求得这个定，，(口)JIcosxdx=O积分的值。正弦函数，余弦函数在周期区间上的4．由l(b)．I，(口)=IG(a)da解出，(口)例：计算，=fJ01+积分为零。或t(b)即得所求，。二利用积分顺序可交换性计算定积分④Icosxdx=lcosxdx=O解：导-lT“OW-：'-,的方法和步骤：余弦函数在半周期区间上的积分等Jf0‘l+车t一Jf01州：dt1．将所求定积分，-J。n，b，)的被于零。第二个积分项与原式相同故可以和原积函数f(a，b，)化为参量

8、积分I，y)例：计算j。sin'xdx)~L=』。c。s"xdx(n是正整数)2I=1n2j。丢dt=1n2因此，-詈1n2。2．将定积分化为累次积分，=I解：由于sin'-x是以2叮r为周期的周期二、利用含参量积分计算定积分有些定积分，用换元法和分部积分法I，)，)函数，故厶=lsin"xdx，又当n为奇数时～112一20l0—03象牙塔内sin'x是奇函数，当n为偶数时sin'x是偶函定理2：设