定积分计算技巧.pdf

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1、.1.定积分的几何意义22例1.2xxdx=_________．02222解法1由定积分的几何意义知，2xxdx等于上半圆周(x1)y1(y0)022与x轴所围成的图形的面积．故2xxdx=．022.利用积分不等式npsinx例1.求limdx,p,n为自然数．nnx解法利用积分不等式因为npsinxnpsinxnp1npdxdxdxln,nnnxxxnnp而limln0,所以nnnpsinxlimdx0．nnxn1x例2.求limdx．n01x解法因为0x1，故有nxn0x．1x于是可得n11xn0

2、dxxdx．01x0又由于1n1xdx0(n)．0n1因此n1xlimdx=0．n01x3.利用被积函数的奇偶性求定积分．212xx例1.计算dx．1211x分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．22212xx12x1x2x解dx=dxdx．由于是偶函数，而121212211x11x11x11xx1x是奇函数，有dx0,于是21211x11x;..222212xx1x1x(11x)112dx=4dx=42dx=4dx41xdx120200011x11xx12由定积分的几何意义可

3、知1xdx,故04212xx1dx4dx44．12011x4例2.计算.解虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.4.设f(x)为周期函数且连续，周期为T，则.事实上由于于是例1.设表示距离x最近整数的距离，计算解由且为周期函数，周期为1，于是5.利用积分中值定理npsinx例1.求limdx,p,n为自然数．nnx;..解法利用积分中值定理sinx设f(x),显然f(x)在[n,np]上连续,由积分中值定理得xnpsinxsindxp,[n,np],nx当n时

4、,,而sin1,故npsinxsinlimdxlimp0．nnxn1x例2.求limdx．n01xbb解法由积分中值定理f(x)g(x)dxf()g(x)dx可知aan1x11ndx=xdx，01．001x1又1111nlimxdxlim0且1，n0nn121故n1xlimdx0．n01x6.利用适当变量变换求定积分例1.设f(x)在[0，1]上连续，计算解设于是得例2.设函数f(x)在内满足且，计算解法一;..解法二当时，于是例46设解原式7.利用定积分公式公式1：设f(x)在[0,1]上连续，则事

5、实上移项两边同除以2得.公式2：记;..于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由公式3：证由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故公式4.证例54证明.证公式5设f(x)在[0,1]上连续，则.;..证由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数，于是公式6证公式7.证例1.计算.解利用方法（7）得原式;.