定积分计算技巧.docx

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1、.1.定积分的几何意义2例1.2xx2dx=_________．0解法12222由定积分的几何意义知，2xxdx等于上半圆周(x1)y1(y0)0与x轴所围成的图形的面积．故2202xxdx=．22.利用积分不等式np例1.求limnnsinxdx,p,n为自然数．x解法利用积分不等式因为npsinxnpsinxnp1npndxndxndxln,xxxn而limlnnp0,所以nnlimnpsinx0．nxdxn例2.求lim1xndx．01xn解法因为0x1，故有0xnxn．1x于是可得1xndx1n．0xxdx010又由于1

2、10(n)．xndx0n1因此lim1xndx=0．0n1x3.利用被积函数的奇偶性求定积分．12x2x例1.计算dx．111x2分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．121212解2xxdx=2xdxxdx．由于2x是偶函数，而1111x21x21x211x2111x是奇函数，有1xdx0,于是11x2111x2;..2x22212xx1dx=41x(11x)112dx111x2dx=4x2dx=4dx41x011x2000由定积分的几何意义可知12dx,故01x412x2x1．1dx40dx4411x2

3、4例2.计算.解虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.4.设f(x)为周期函数且连续，周期为T，则.事实上由于于是例1.设表示距离x最近整数的距离，计算解由且为周期函数，周期为1，于是5.利用积分中值定理np例1.求limnnsinxdx,p,n为自然数．;..解法利用积分中值定理设f(x)sinxp]上连续,由积分中值定理得,显然f(x)在[n,nxnpsinxsinp,[n,np],dxnx当n时,,而sin1,故limnpnn1xn例2.dx．求limn01xsinxsin．dx

4、limp0xbb解法由积分中值定理af()g()dxf()()可知xxagxdx1xn=11n，01．01xdx10xdx又lim1xndxlim10且111，n0nn121故lim1xndx0．0n1x6.利用适当变量变换求定积分例1.设f(x)在[0，1]上连续，计算解设于是得例2.设函数f(x)在内满足且，计算解法一;..解法二当时，于是例46设解原式7.利用定积分公式公式1：设f(x)在[0,1]上连续，则事实上移项两边同除以2得.公式2：记;..于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由公式3：证由，知的周期

5、为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故公式4.证例54证明.证公式5设f(x)在[0,1]上连续，则.;..证由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数，于是公式6证公式7.证例1.计算.解利用方法（7）得原式;.