定积分的数值计算

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1、第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解：精度与收敛速度引言首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。考虑在区间内任意插入个分点的分法：把分割成个小区间，第个子区间的长度为；任取数，做乘积，把所有这些乘积相加得到和式.如果无论区间怎

2、样划分及分点怎样选取，当时，该和式都趋于同一常数，则称函数在区间上可积，且称此常数为在区间上的定积分，即。称和式为积分和或黎曼和。在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意的。显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。定积分的定义中要求在对区间无限细分（）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也

3、不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。实验一定积分概念的深化——达布和设函数在区间上有界。考虑将将区间任意分割成个子区间（）的分法，设在子区间上的上、下确界分别为，称为在子区间上的振幅，和式分别称为关于该分割的达布（Darboux）大和与达布小和。由定义可知，函数对应于同一分割

4、的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。当在区间上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系，容易知道对于同一分割，有.可以证明在区间上可积的充分必要条件是现在假定在区间上非负连续，那么达布大和在几何上就表示在子区间上以为高所做的个小矩形构成的阶梯形的面积；达布小和表示在子区间上以为高所做的个小矩形构成的阶梯形的面积，它们的差就是这两个阶梯形面积之差。由于函数在区间上可积，所以当，即当区间被无限细分时，这两个阶梯形面积都趋于该曲边梯形的面积，从而这两个阶梯形面积之差为零，即.当考虑对区间进行等

5、分时，我们有相应地将、分别记作和.特别，如果在区间上单调增加，那么达布小和就是左和，达布大和就是右和；如果在区间上单调减少，那么达布大和就是左和，达布小和就是右和，即数值实验1对区间上作等分，观察在上的达布大和与达布小和之差随增加时的变化趋势。Mathematica程序（ch1-ex1.nb）实验过程：(1)改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察实验结果分析与理解：从实验看出，对于函数，它在上的达布大和与达布小和之差随增加而趋于0.达布大和与达布小和分别趋于曲边三角形的面积。实验二定积分数值计算方法——近似计算如果在区间上可

6、积，那么我们已经知道用它的左和或右和来逼近它，我们称之为矩形求积公式。当越大，逼近的精度越高。根据上述求积公式当为增函数时，，当为减函数时，，我们甚至知道什么时候左和及右和给出的是过剩的近似值还是不足的近似值。从上面的数值实验例子可以看到，当=2时，左和给出了一个相当差的不足近似值，而右和也只给出了一个相当差的过剩近似值。当然，当充分大时，它们都能给出好的近似值。但是，在给定的条件下，我们如何修改计算求积公式，使本例中左和与右和产生的不足与过剩相互抵消，提高计算的精度？一个办法是根据单调函数的特点，使用中点值，得到如下中点求积公

7、式；另一办法是取左和与右和的平均值，得到如下梯形求积公式.数值实验2在给定分割数的条件下，观察使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分的值的精度情况。Mathematica程序（ch1-ex2.nb）实验过程：(1)改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察实验结果分析与理解IntegrateValue=2.66666666666666667从实验中，我们看到，对于给定的条件下，使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分的值时，中点公式具有最好

8、的精度。随着的增加，它们的精度也相应提高。实验三更高的精度要求与收敛速度——对误差的了解当我们计算一个近似值时，总会涉及到误差，即准确的答案与近似值之差。我们从来不知道准确的误差，假如知道，也就知道准确的答案了。因此，我们有必要对误差有好的了解。记，其中是定积分