数值分析20定积分计算与积分和式

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1、定积分计算与积分和式插值型求积公式求积公式的代数精度复合梯形公式MATLAB求积分命令《数值分析》20椭圆:x=acosty=bsint0≤t≤22/18其中周长:问题:1.定积分与线积分的计算?2.重积分的数值计算?3.椭球面积的计算？4.由离散数据计算三维体积？3/184/18定积分与积分和式右矩形和h10.50.2······Sn5.29085.10444.9835······4.89995/18左矩形梯形右矩形4.44294.86695.29084.68044.89245.10444.81394.89874.9835

2、4.85724.89964.9420数值求积公式的一般形式R[f]——数值求积公式余项x0,x1,···,xn——求积结点A0,A1,···,An——求积系数例1.梯形公式:ab6/18A0=(b–a)/2A1=(b–a)/2插值型求积公式对[a，b]做分划:a≤x0

3、mpson公式9/18定义:对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项例.梯形公式代数精度为1具有m阶的代数精确度且有m+1次多项式不具有这样的性质,则称10/18(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.所以,R[xk]=0,(k=0,1,2,···,n)例4确定公式使代数精度尽可能高.类似有:Simpson公式具有3阶代数精度对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式11/18解:取f(x)=1,x,x2若求积公式准确成立,则有A1=0求积公式具有至少2阶代数精度容易验证,对f(x)=x3求积公式式不能准确成立.因此

4、这一公式只具有2次代数精度12/18取等距结点xj=a+jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式定理:当n为偶数时,n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度。Newton-Cotes公式代数精度至少为n13/18复合梯形求积公式将积分区间[a,b]n等分.取h=(b-a)/n.xj=a+jh14/1815/18取递推，得给定允许误差界ε>0,当时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值.16/18T1T2T4········TnT2nf=inline('sqrt((7782.5*sin

5、(x)).^2+59621550*cos(x).^2)');T=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2));n=1;h=pi/2;e=1;k=0;whilee>0.01s=0.5*(T+h*sum(f(.5*h:h:pi/2)));e=abs(s-T);T=s;n=2*n;h=h/2;k=k+1end4*Tans=4.8707e+004,(循环次数k=2)复合梯形公式计算17/18L=48707(公里)MATLAB求定积分命令quad(‘fun’,a,b)高阶求积分命令q=quad8('fun',a,b)重积分计算命令dblq

6、uad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax)18/18f=inline('x.^3./(exp(x)-1)');q(1)=quad(f,eps,1);fork=1:4q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1);end