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1、word完美格式几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形SeveralNumericalMethodsforSolvingDefiniteIntegralsAbstract:Severalcommonmethodsforsolvingdefiniteintegralsaresummarizedinthispaper.Meantime,theideaforeachmeth
2、odisemphaticallyanalyzed.Afterwards,anumericalexampleisillustratedtoshowthattheadvantagesanddisadvantagesofthesemethods.Keywords:Numericalmethods,Rectanglemethod,Trapezoidalmethod,Parabolicmethod,Classrectangle,Classtrapezoid精心整理学习帮手word完美格式精心整理学习帮手word完美格式1.引言在科学研究
3、和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数在区间连续且原函数为,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数在区间连续且原函数为,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数的原函数无法用初等函数给出.例如积分,等,从而无
4、法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。(2)函数使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。(3)函数的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用.由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较．2.几何意义上的数值算法在几何上表示以为底,以曲线为曲边的曲边梯形的面积,因此,计算的近似值也就是的近似值,如图1所示
5、.沿着积分区间,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设上等分的小区间,其中表示小区间的长度.2.1矩形法精心整理学习帮手word完美格式矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则图1分割曲边矩形近似积分2.2梯形法梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到的近似值,即.图2分割曲边梯形近似积分2.3抛物线法抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示.
6、图3抛物线积分精心整理学习帮手word完美格式对应的曲线上的点可以唯一地确定一条抛物线,这条抛物线将作将代替从至的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积:上面利用了条件是抛物线上的点以及等式.同理可证：……所以,3.概率意义上的数值算法概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现.尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.3.1平均值法考虑定积分
7、的近似计算,其中在内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生个独立的随机变量,且服从在上均匀分布,即;其次,计算的近似值,.由中心极限定理知,若相互独立、同分布,且数学期望及标准差存在,则当充分大时,随机变量渐近服从正态分布,即对任意的,精心整理学习帮手word完美格式这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为.3.2“类矩形”Monte-Carlo方法由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为,就有对平均值法的改进，“类矩形”Monte-Carlo方法,改进过程为：先将积分区间
8、等分,随机产生个相互独立且服从上均匀分布的随机变量序列；然后由这个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换将映射到子区间最后,计算的近似值,．下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性.命题1设证明:由Lagrange中值定理得上式两边在积分,得由得连续性,得精心整理学习帮手
