定积分的数值计算方法文献综述

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1、文献综述定积分的数值计算方法一、前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分（1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出的原函数F就可以得出积分（1．1）的值，即（1．2）如果原函数F非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三

2、思而行[1]．例如，（1．3）采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此

3、导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．一、主题部分2．1牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1公

4、式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间分成n等分，其节点为．对于给定的函数，在节点上的值为已知．那么在n+1个节点上的n次代数插值多项式为如果记，则上式可以写为（2．1）在积分（1．1）中的被积函数用其n+1个节点的代数插值多项式来代替，可得．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为，（2．2）其中(2．3)(2．4)公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，称为求积公式系数，称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计，由下面定理给出定理2．1(1)如果n为偶数，在上连续，则有，（2．

5、5）其中．(2)如果n为奇数，在上连续，则有，（2．6）其中．定义2．1如果求积公式对所有次数不高于n的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n次，而当n是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时所以有（2．7）公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接和的直线来逼近，并对这线性函数进行积分可得到．再用来逼近．定理2．2若，则梯形公式

6、（2．7）的误差为2．1．3辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有有此得到（2．8）其中．式（2．8）称为辛普森公式．定理2．3若，则辛普森公式（2．8）的误差为2．2复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，

7、可把积分区间分为若干个小区间，等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间作n等分，并记，于是．2．2．1复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数在一个很大区间上的积分，那么我们可以把区间分成n个长度为的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：(2．9)整体积分误差等于n个小区间上的积分误差之和：整体误差=，其中是第个小区间上的某一点．如果在区间上连

8、续，那么由连续函数的性质可知，在区间上存在点使得的平均值等于．于是由于,有整体误差=，局部误差是，整体误差是．2.2.2复化辛普森求积公式[9]对于积分，将等分，每个小区间长度，节点记为，第个小区间记为．记的中点为，则复化辛普森公式为．2．3龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分