定积分及其应用 文献综述

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1、咸阳师范学院毕业论文(设计)文献综述题目：定积分及其应用学生姓名：马永升系别：数学与信息科学学院专业：应用数学年级：2008级学号：0806014322本(专)科：本科指导教师：李艳艳7定积分及其应用摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。关键词：定积分；几何；物理；初等数学极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。例如：求的值。解=（1）式是函数f（

2、x）=sinx在区间[a,b]上的一个积分和，它是把[0,1]分成n等份。i取[的左端点（即i=）构成的积分和，由定积分定义可得=7许多教师在讲此内容时将例题一带而过，导致大部分学生做习题不知从何下手，基础较好的学生也只是模仿例题，但对该方法理解不深。一定积分在数学中的应用1利用定积分求平面图形的面积。一般地，有上、下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线x=a与x=b（a

3、连续可微且(t)≠0（对于y(t)连续可微且≠0的情形可类似讨论）。记a=x((a

4、2求椭圆所围的面积。解化椭圆为参数方程椭圆面积为。显然当a=b=r时这就等于圆面积2求立体图形的体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,例如求一个铁块的体积,可以将此铁块划分成许多基本的小铁块,每一块的厚度为б(x),假设每一个基本的小铁块的横切面积为A(x),则此小铁块的体积大约是A(x)б(x),将所有的小铁块加起来,令n=б(x)→0,我们就可以得到其体积vv=其中b和c分别为计算体积是的起始值和终了值，例3椭圆面所为立体的体积解:以平面)截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影所以截面

5、面积函数为于是求得椭球体积7显然当=r时,就等于球的体积例4:由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax,(a>0，a≤x≤3a)所围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？如图2，斜线区域即为题意所指的区域,根据旋转体体积的求法，可将区域OPQB的旋转体积减去区域APCB的旋转体积，即为所求解：我们首先来求区域APQB的旋转体积：=

6、==4a而区域APCB的旋转体积为一个圆柱的体积，其半径为a，高为2a，故应为：所以区域PCQ的旋转体积为（3）二定积分在物理中的应用定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成

7、为可能,从而使物理学得到长足的发展,定积分的应用主要是在力学中例如:有一个方向恒定的变力F对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S，F为S的函数F=f(s),则有变力F所做的功为(其中a,b为变力F的起始与末尾值)例5质量为m的摆锤系于绳的下端,绳长为,上端固定如图(4)所示,一水平变力F从零逐渐增大缓慢的作用在（4）摆锤上,使摆锤虽力F在移动,但在所有时间内均无限地接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成角的位置，试计算变力F所做的功。解；由题意得，在任意位置上（由角位置θ表示），摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极近于零作计算。在水平方向与竖直方向分别有：式中T

8、是摆锤所受绳的拉力，于是有当摆锤在θ位置上沿圆弧作微小位移时，力所做的微功为7 将代入，得：所以在摆锤从初始位置（θ=0）到位置（θ=θ0）的过程中，F力对摆锤所作的总功是：作变速直线运动的物体在时间区间上所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的积分，即。例6已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：）求（1）汽车行驶的路程；（2）汽车行驶的路程；（3）汽车行驶的路程.解（1）S1=；（2）S2=S1+30*30+=100+900+=100+900+(－1875+4500+1200－3600)=