振荡函数积分的数值计算文献综述

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1、文献综述振荡函数积分的数值计算一、前言部分科学计算作为当今科学研究的三种手段之一，是数学将触角伸向其他科学的桥梁。在科学应用领域，如电磁学、非线性学、流体动力学、等离子体运输、天体动力学、地质勘探等，都常常要计算含有振荡函数的积分。振荡函数有时并非光滑，甚至并不连续，为了研究这一类特殊函数，我们必须考虑一些相应的数值求解振荡函数积分的方法，比如可考虑转化为两零点间的积分，Filon算法等。而这些方法的基础为常用的数值积分公式，比如梯形公式及其复合公式，抛物线公式及其复合公式，Guass求积公式等等。随着计算机的迅速发展，在科学、技术、工程、生产、医学

2、、经济和人文等领域中抽象出来的许多数学问题可以用计算机计算、求解。可借用软件如Matlab或C对其中一些方法进行编程实现。能够将理论与实践联系起来，形成一个由“实践—理论—实践”的良性循环。二、主题部分2.1数值积分积分运算是微积分学的一个重要的分支。在加速度已知的情况下，积分运算用来求它的速度；或者通过速度求出位移，计算图形面积，预测人口增长等其他许多重要的应用。在微积分课程中已经学过许多求函数的不定积分的方法。（给定函数，它的不定积分是满足条件的函数。）在实际计算中常常遇到求定积分的问题，根据积分学的基本定理，只要求出原函数便可求出定积分的值。也

3、学过定积分的计算方法：牛顿-莱布尼兹公式，可以利用不定积分计算定积分的值。然而有些被积函数的不定积分无法用普通的函数表示，求原函数往往是困难的，有时甚至是不可能的。当被积函数的不定积分未知时，我们就用到了数值积分方法。所以我们要讨论数值积分方法，即用数值方法求积分的近似值。2.1.1Newton-Cotes求积公式设为有限或无穷区间，用被积函数的以为节点的n次Lagrange插值多项式及其余项代替被积函数，当求积节点为等距节点，（2.1）称为数值积分公式，其中求积系数，为n次插值基函数，称为求积积点。非周期函数的积分，一般使用Newton-Cotes

4、法或龙贝格法。设[a,b]为有限区间，步长，则相应的公式（2.1）便称为n阶Newton-Cotes型求积公式。梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数。即当Newton-Cotes求积公式中n=1时，得，称为梯形公式。我们可以使逼近函数的效果更好如果用二次或三次插值多项式。辛普森公式建立的基础就是这种逼近。即Newton-Cotes求积公式中当n=2时，得，称为抛物线公式，也叫Simpson公式。2.1.2复合求积公式应用高阶的Newton-Cotes型求积公式计算积分会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形和抛物线公式)又往往因积分区间步长过大

5、使得离散误差大。然而，若积分区间愈小，则离散误差小。因此，为了提高求积公式的精确度，又使算法简单易行，往往使用复化方法。即把积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来，这种公式称为复合求积公式。复合求积公式是一种典型的求积方法，通过低阶的求积公式构造出收敛性极好的求积方法，主要有复合梯形公式和复合Simpson公式。记，，。在每个小区间上使用梯形求积公式，便得到复合梯形求积公式：如将[a,b]区间2m等分，记，，，在每个小区间上使用抛物线求积公式，则得复合抛物线公式：2.1.3龙贝格积分公式利用类似于理查德外推的技巧提高复

6、化梯形求积公式的精度。这种方法就是众所周知的龙贝格积分。我们可以利用龙贝格法求一个结点均匀分布的表格函数的积分，但是现在我们不能使h变小。龙贝格方法可用于很多种类的函数。对光滑性和连续性没有要求。然而，当不连续时，我们应该把均匀分布的点落在间断点上。这个可以完成如果我们根据间断点把区间分成几个子区间。利用步长折半的方法推导出梯形公式的递推式，外推加速技术是一种简单有效的方法，在复合梯形公式递推化的基础上，可以通过外推加速，得到较高精度Romberg算法。对于不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时可以直接使用复化辛普森公式计算。龙贝

7、格积分法精度比Newton-Cotes法高，收敛速度快，编程容易实现，使用面向对象程序设计方法，回避了函数指针的使用，降低了编程调试的难度。工程上一般首选龙贝格法。2.1.4Gauss型求积公式若区间上一组节点使得相应求积公式（2.1）具有2n+1次代数精度，则称此点组为高斯点组，相应的求积公式（2.1）为高斯型求积公式。高斯点组可直接通过求解相应方程组得到，也可借助正交多项式的零点来确定。我们前面讨论的数值积分公式都是事先给定均匀分布x值的；这就意味着x值被事先确定了。对于一个三项的公式，存在三个自由参数，即对应函数值的系数(加权因子)。一个有三个

8、参数的公式可以确定一个二次多项式，比参数的个数少一个。高斯发现如果我们改变求解函数值的任务没有事先确定x值的