无界函数广义积分的数值计算　　　　文献综述

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1、文献综述无界函数广义积分的数值计算　　　　一、前言部分在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分,为顾名思义，他们也称为广义积分,这便是本论文讨论的中心.下面介绍广义积分有关概念:定义:设函数定义在无穷区间上,且在任何有限区间上可积,如果存在极限则称此极限为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作并称收敛.如果极限不存在,称发散.类似地,可定义为在上的无穷积分:.对于在上的无穷积分,它是前面两个无穷积分来定义的:其中

2、为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.很显然,无穷积分的收敛性与收敛时的值,都和实数的选取无关.由于无穷积分是由、两类无穷积分来定义的,因此,在任何有限区间上,首先必须是可积的.定义:设函数定义在区间上,在点的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间上有界且可积.如果存在极限则称此极限为无界函数在上的反常积分,记作并称反常积分收敛.如果极限不存在,称反常积分发散.在定义中,被积函数在点近旁是无界的,这时点称为的瑕点,则无界函数反常积分称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为时的瑕积分:其中在有定义,在点的任一左邻域内无界

3、,但在任何上可积.若的瑕点,则定义瑕积分其中在上有定义,在点的任一邻域内无界,但任何和上有可积.当且仅当式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若两点都是的瑕点,而在任何上可积,这时定义瑕积分其中为内任一实数,同样地,当且仅当式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.由以上描述可知,敛散性是广义积分的重要性质，因此，广义积分的敛散性的判别方法是很重要的研究话题，对于广义积分计算的研究也同样具有重要的意义.通常的积分计算直接利用公式进行,但是,在实际问题中,这样往往是有困难的,有些被积函数的原函数不能用初等函

4、数表示成有限的形式;有些被积函数表达式很复杂;有些没有具体的解析表达式.而且,广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间具有一个或多个无穷端点的情况,无论哪种情况,正常的积分逼近规则必须进行修改.因此,引进数值计算的方法进行计算.但是,由于无穷限的广义积分通常可以通过变量替换转化为无界函数的广义积分,也可以直接仿无界函数的反常积分作类似处理,因此,本文着重研究无界函数广义积分,搜集了近些年对无界函数广义积分的国内外相关文献.通过对文献的阅读和总结,归纳出了以下的主题:关于无界函数广义积分的敛散性问题;关于无界函数广

5、义积分的解析计算方法;关于无界函数广义积分的数值计算方法.二、主题部分判别广义积分收敛的方法有多种,高校教材上在学习广义积分时给出的常用的方法主要有定义法、比较法则和柯西判别法、狄里可雷判别法和阿贝尔判别法.一般而言,被积函数的原函数已知或易求的用“定义法”,分别满足狄里可雷判别法和阿贝尔判别法的条件的函数分别用“狄里可雷判别法”和“阿贝尔判别法”，总之,具体情况用具体方法.本人阅读无界函数广义积分的相关文献,对其敛散性作如下讨论:2.1敛散性判别方法定理:设函数定义在上,为瑕点,在任何上可积,并且,则有:当时,瑕积分收敛;当

6、时,瑕积分发散.定理:设函数在上有定义,是的瑕点,则瑕积分收敛于,当且仅当对任意序列,存在,对任意的且,有.推论:设函数在上有定义,是的瑕点,如果存在数列,有或不存在,则瑕积分发散.推论:设函数在上有定义,是的瑕点,如果存在数列有,则瑕积分发散.从定理及推论和我认识到,可以利用数项级数以及数列和反常积分之间的联系,运用一定的技巧,巧妙地判断反常积分的收敛性.在今后学习的过程中,我一定会重视知识的积累和完善.这不仅可以开拓自己的视野.还可以让自己对数学的整体有一个全新的认识.定理:设在上连续,,则:如果存在常数,使即有界,则收敛

7、.如果是的同阶或低阶无穷小,则发散.定理:设在上连续,且,是奇点,则:如果存在常数,使即有界,则（或）收敛.如果是的同阶或高阶无穷大,则（或）发散.定理:若,收敛时，也收敛;当发散时,也发散.定理:设函数在上连续,（点称瑕点),,则有若在上连续,则广义积分收敛,且.(2)若,则广义积分发散.由定理可知,在求瑕积分时,可以按普通积分来计算,只需注意被积函数的原函数在积分区间上是否连续或无界.这样做可以简化计算过程,如果直接按定义计算,不仅要取极限,有时还要分段求解,显然比较麻烦.2.2广义积分的解析计算2.2.1牛顿——莱布尼兹

8、公式法定理:设是在的一个原函数（即当时，）,且极限存在,则收敛,且有公式.同理,牛顿——莱布尼兹公式对瑕积分也类似成立,形式如下:.其中,若为瑕点,则代表,代表极限（假设它存在）;若为瑕点,则代表极限,代表极限（假设它存在）.2.2.2换元积分法定理:设在上连续,作代换,其中