广义积分的近似计算【文献综述】

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1、毕业设计文献综述信息与计算科学广义积分的近似计算求定积分是数学科学的中心课题之一,主要途径有两条:微积分学基本定理和数值积分.我们知道,若函数在上连续,且存在原函数,则可用微积分基本定理(Newton–Leibniz公式)来求解定积分的值.Newton-Leibniz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题,因为科学涉及的实际问题极为广泛,而且极其复杂.在实际计算中经常会遇到以下三种情况:(1)大量被积函数并不一定能找到用初等函数的有限形式表示的原函数;(2)

2、被积函数的原函数能用初等函数表示,但积分后其表达式却极为复杂;(3)被积函数没有具体的解析表达式,其函数关系常用测量数据表示.对于这些情况,计算积分的准确值都是十分困难的.由此,通过微积分基本定理计算积分有它的局限性,我们需要用数值积分的解法来建立积分的计算问题.随着科学的日益发展,利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积,求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积,以及物理中的功、水压力等等.但是,在工程计算中也会遇到广义积分的数值计算问题,尤其是在近代物理等领域中会经常遇到广义积分(瑕

3、积分，无穷积分)的数值计算问题.对于这类数值计算问题并没有像正常定积分那样,有许多成熟的计算方法,特别是被积函数有瑕点,积分区间无穷的这一类广义可积积分计算问题.许多数学工作者提出了几种广义积分计算新方法,通过数值算例,表明了这些方法是可行和有效的,可以看作是对传统的广义积分计算方法的一种推广,将在工程与科学计算方面有着重要地应用.1988年,蒋和理在《无穷区间广义积分优化复化Simpson与梯形数值算法》中首先给出了无穷广义积分的复化Simpson与梯形数值积分公式的第K次近似值迭代.为了在计算机上迭代计

4、算时,免去大量函数值的重复计算,加速收敛,减少迭代计算次数,作者通过改变迭代计算格式，采用最优化原理,给出了的优化复化Simpson与梯形数值算法及其步骤,并证明其收敛性.此外,作者采用外推法的计算环节能提高和加速达到近似值的精度要求.2002年，陶诏灵在《一类广义积分的算法及实现》中针对Laplace变换与样条在社会生活的各个领域中的广泛应用,将二者联系起来,运用样条方法来求解Laplace积分.作者首先给出了Laplace变换与样条函数的基本概念,对于Laplace积分具有导数不连续点的像原函数得出一个

5、积分算法.运用重节点样条进行拟合,再引入差商,以两个不同出发点导出Laplace积分,并在均匀网格分划下,给出一系列解析公式.对一般的函数,Laplace积分函数是减函数,随的增加,计算值与真实值的误差将会逐步减小.最后用算例编程计算,实例表明该方法比Simpson积分法速度快得多,克服了Gauss-Legendre积分等函数零点难以确定的困难,此方法较之其他方法优越之处在于采用了具有良好条件数的样条基表示拟合方法,而且样条重结点可刻画不光滑像原函数而且简单、快速,便于计算机实现.2003年,张荣在《用摄动

6、方法求一类广义振荡积分的值》中针对的是在科学与工程计算中经常需要计算的积分(其中是振荡函数,而为非振荡函数),用摄动方法中求定积分所定义的函数的渐进展开式的各种方法来求这类广义振荡积分的近似值,证明其在多数情况下得到的是精确值.作者用求积分所定义的函数的渐进展开式的几类方法:被积函数展开法、分步积分法、Laplace方法、驻相法和最速下降法分别举例求解这类广义振荡积分的近似值.2007年,莫平华在《一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算》中针对的是物理勘探中需要计算的含一阶贝塞尔函数的广义积分.传统的方法在贝塞尔

7、函数零点之间一次应用一般积分法则积分,最后求和,在贝塞尔函数中值很大的时侯收敛速度很慢.另一种应用广泛的方法是数字滤波技术,该法比第一种方法快,但要求核函数迅速衰减.对此,作者给出了一种新的计算方法,用与改进数字滤波方法类似技巧把积分化为两个积分.一个利用高斯求积法则求解,另一个根据贝塞尔函数性质分部积分,得到积分的近似值计算式.这个方法不需要寻找贝塞尔函数的零点,且当很大的时候,利用在零点之间积分的方法速度也会受到很大的影响.当今符号计算软件Matlab为计算提供了很好应用工具.因此,应用该方法计算积分方

8、法简单,高效率,精度高.2008年，郭德龙等在《基于进化策略的广义积分计算方法研究》中首先阐明了标准进化策略的具体实施步骤,然后分别阐述了进化策略求一维无穷积分和二维瑕积分的方法.该方法根据被积函数的变量区间任意选取分割点,作为进化策略的初始的群体,通过进化策略算法来优化这些分割点,最终可得到一些最优的分割点,然后再求和,再根据和函数定义适应度函数,在给定的终止条件下,可获的精度较高的积分值.最后数值算例仿真结果