有关广义循环矩阵的探讨【文献综述】

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1、毕业论文文献综述［学与应用数学有关广义循环矩阵的探讨循环矩阵的概念是T.Muir于1885年首先提出的，然而，在1950年Z前，对于循环矩阵的研究并没有引起数学工作者的足够重视。直到1950年至1955年，I.J.Good等才分别对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究。近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向。它之所以引起数学工作者如此大的兴趣主要是基于下面两个方面的原因：第一，循环矩阵类是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用。特别是在分子振动、信号处理、纠错

2、码理论、编码理论、图象处理、小波变换、结构计算、电动力学、优化设计、自回归滤波器设计、石油勘探、理论物理、线性预测、地震物探、计量经济、工程技术、晶体结构理论以及弹簧振动问题等领域常常要用到这类特殊矩阵。第二，由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的许多领域。如控制理论、最优化、求解(偏)微分方程矩阵分解、曲线几何设计、多目标决策、傅氏变换、逼近论、二次型化简以及平面几何学等。循环矩阵是一类重要的特殊矩阵，在许多领域中有广泛的应用。从探求循环矩阵的推广、计算及应用为出发点，采用多种

3、计算方法，探讨更广泛的循环矩阵。随着循环矩阵研究的不断深入，循环矩阵在各方而的研究、应用已有不同程度的进展。比如文献［1］、［2］、［3］、［4］、［5］、［6］给出了国外学者对循环矩阵的研究，比如：文献［1］中讲道有限域上的正交循环矩阵，有限域上正交循环矩阵对于编码理论是非常有用的。文献［2］中讲的是积和式中的项数与一般循环矩阵中的行列式，令A=(呦)是通过=xi+j给出的一个nx/i的一般循坏矩阵行列式，下标x是斤的绝对值.定义伽丿(resp.M”)是行列式4中的一个项数.函数°仇丿是已知的、并有儿组解.另一方面，

4、函数伽丿是未知的.我们将证明当川是一个素数幕时，d(n)=p(n).而国内也有很多学者在不懈的努力研究着，取得了重大成就。比如文献［7］,研究〃阶(力心,…,型k重(G®…以卜循坏矩阵相乘的快速算法。文献［8］、［9］、［10］、［11］、［12］都主要研究了八循环线性方程组的求解方法。文献［13］利用多项式快速算法，出了鳞状因子循环矩阵方程AX=b可解的条件与求解的快速算法并分别指出了循环矩阵非奇异与奇异时的不同解的算法，该算法仅用到鳞状因子循环矩阵的第一行元素及对角矩阵中的对角上的常数进行计算。文献[14]利用多项

5、式最大公因式，给岀了线性方程组的反问题在八循环矩阵类和对称-循环矩阵类屮有唯一解的充要条件，进而得到线性方程组厂■循环矩阵类和对称r-循环矩阵类中的反问题求唯一解的算法，最后给出了应用该算法的数值例子。特别地，在有理数上用计算机求得的结果是精确的。文献[15]是循环矩阵求逆的一种算法，循环矩阵的逆可以用初等变换法、伴随矩阵法、分块矩阵法等一般的方法来求解，但作为一类特殊的矩阵，如果用这些方法来求逆未免太麻烦。文章给出的方法比现有的方法简单，适用的范围更广泛。文献[14]则给出了一种求〃阶置换因子循环矩阵的逆阵，自反g・

6、逆，Moore-Penrose逆的快速算法，该算法避免了一般快速算法中，要计算大量的三角函数等可能带来误差及影响效率的问题。该算法仅用到置换因子循环矩阵的第一行元素进行计算，在计算机上实现时只有舍入误差。特别地，在有理数域上用计算机求得的结果是精确的。文献[17]利用多项式的Euclid算法给出了非奇异的循环矩阵求逆矩阵的一个新算法，该算法同时可以推广到求其他循环矩阵的群逆和Moore-Penrose逆。文献[17]给出了循环线性方程组的求解。我们认为，可以把八循环矩阵求解的快速算法和循环矩阵类中求解线性方程组反问题的

7、快速算法推广到置换因子循环线性系统求解的快速算法上去[16],同时，也可以在现在已有的结论的基础上推广到置换因子循环线性系统，并且把置换因子循环线性系统求解的快速算法推广到更广阔的范围上去，使Z应用在更多更广的学科范围内。主要参考文献：[1]DieterJungnickel,ThomasBeth,WilliGeiselmann.AnoteonorthogonalcirculantmatricesOverfinitefields.Arch.Math,Vol.62,126-133(1994).[2]HUHGTHOMAS,T

8、henumberoftermsinthepermanentandthedeterminantofagenericcirculantMatrix.FieldsInstitute,222CollegeStreet,Toronto0N,M5T3JJ,Canada.ReceivedSeptember10,2002;RevisedJune2