循环矩阵及其计算问题【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学循环矩阵及其计算问题循环矩阵是一类特殊的矩阵，它的概念是TMuir于1885年首先提出来的，他称如下形式的矩阵仏a2…％、(:产曲心心…,％)=an-l兔ai…an-2••••••••••••<⑷E色…>为循环矩阵，即一个nXn矩阵C被称为循环矩阵,如果它的元素ci,j二cl,j-i+1,i,je{1,2,n},且下标是取模n的.换言之，第i行的元素是矩阵C的第一行的元素循环向右移动i-1步得到的1显然，任意的循环矩阵都惟一地被其第一行的元素所确定.因此，常用circ(cl,c2,cn)来表示第一行的元素依次是cl,c2，…，cn的循环

2、矩阵Cl并约定用W表示第一行是(0,1,0,…，0)的循环矩阵,即W二circ(0,1,0,…,0)・循环矩阵的平方仍然是循环矩阵所以一个简便的0(rT2)的算法就是先用原始的矩阵乘法计算出第一行,然后余下的行参照第一行的数值循环移就得到了，如果取<010…00、001…00•••••••••••••••000…01100…00为基本矩阵，则q可改写为C”=c°/+c/+c2A2+…+c心右(1),正是由于（1）式的成立才使得循环矩阵Cj勺研究得以顺利进行。然而直到1950年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够重视。1950-1955年，Good等才分

3、别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。近年来，循环矩阵已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向，他之所以引起数学工作者如此大的研究兴趣，主要基于两方面的原因：一是循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学。二是由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛的应用于应用数学和计算数学的许多领域,如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解，多冃标决策，二次型化简及平而几何学等。1950年以来，循环矩阵被数学界高度重视，发展迅速，各种新

4、的循环矩阵理论被相继提出提出，已有几十种。如向后循环矩阵，循环布尔矩阵，y-（块）循环矩阵，「循环矩阵，向后（对称）「循环矩阵等。而循环矩阵的逆特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。因此，自1950年提出循环矩阵的概念以来，许多数学工作者对它进行了大量研究，得出很多成果。目前由于循环矩阵的理论还不是很完善，有些理论过于繁琐复杂，晦涩难懂，在实际应用中也不是很方便，而且由于不同的研究人员的研究视角不同，对其界定不同，结论也就不同，使得循环矩阵的理论成果比较多且杂，在应用过程中难以取舍等等。目前在实际生活中许多的数

5、学模型是涉及循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着，循环矩阵及其计算问题是多国数学工作者研究的一个热点，而且循环矩阵还内部还出现大量的分支结构，包括广义循环矩阵及其逆的有关问题，分块矩阵，「循环矩阵，旷循环矩阵等等，随着研究的深入对循环矩阵的研究也发生了一定的变化，循环矩阵中分化出越来越多的子结构，对循环矩阵的研究越来越细致，越来越透彻。这些文献的结论，给出循环矩阵的一些特殊性质定理及其实际应用，能够解决一些实际中的循环矩阵问题。它们还讲述了循环矩阵的特征值由其第一行元素的离散傅里叶变换组成，并且第一行元素是特征值的傅里叶变换的逆，而且所有同阶循环矩阵的特

6、征向量相同.还包括了循环矩阵的逆矩阵、乘积矩阵、和矩阵和行列式等的性质。但国内外循环矩阵研究的理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着。下面简要介绍一下这些文献中的主要理论:a。e1、形如C”=c"c(Co，q,…£_])=心的矩阵成为循环矩阵，他•••可以由其笫一行元素完全确定，简记为G二凸…卫心)，它为循环矩阵的充分必要条件是二，J//-I1・W~2・w~4.1w~]w~2PCP"必为循环矩阵，其中P为⑷如)严-1)2、定理1对任何循环矩阵A=circr(aQ,a2,--,an_l),均有pdAP=di

7、ag(/(l),)),反之，对任何对角矩阵G=cg(do，d2，・・gLi)，P佩&1113、定理2两个循环矩阵A与B的乘积是循环矩阵，并aAB-BA.4、对于向量X二（粉兀，…，兀丿定义Sd（X）如下（Vdw[O,l]），Sd（x）={j：&nd}・显然S0（x）u{o—}・在集合{0,1,・・.,n-l}±定义一个二兀运算"㊉"如下Vz,jg{0,l,.../?-l},z㊉j=/+/（mod/?）.则{0,1,...n~l}在运算“㊉”的作用下同构于乙，•把（{0,l,・..n-1},㊉）记作群Z„1},定xj1+J2={；

8、+