关于循环矩阵及其推广的几个问题【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学关于循环矩阵及其推广的几个问题通过近期准备,指导老师的指导下,首先完成了一些论文材料准备。材料大致来于三个方面：一是指导老师结合实际问题和需要相应的给予一些；二是在图书馆里，查阅一些资料并做一些记录；三是通过互联网，在网上搜索一些相关的材料。在材料的整理和翻阅，通过文献[7][12]我知道循环矩阵的概念性质。首先，循环矩阵是T.Muir于1885年首先提出的，他对其进行了一些研究。然而，直到1950年至1955年，I.J.Good等才分别对循环矩阵的逆,行列式以及特征值进行了研究。近年来，循环矩阵类[2]已

2、成为矩阵理论和应用已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向，在现代科技工程领域中被广泛的应用。例如在信号处理，图象处理，小波变换，优化设计，自回归滤波器设计等领域常常要用到这类特殊矩阵。另外，由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的许多领域。如最优化，矩阵分解，多目标决策，图论，傅氏变换等。由于循环矩阵类在应用方面的广泛性及迅猛发展，自从1950年以后，对它的研究引起了人们的高度重视。它不仅受到代数学界人士的重视，而且受到了计算数学界，应用数学界等许多领域研究人员的重视。另外，关于

3、它的理论研究方面也得到了飞速发展。迄今为止，对于经典循环矩阵的所做的研究已有很多。同时，各种新的循环矩阵被相继提出。至今，已有几十种。如:r-循环矩阵，向后（对称）r-循环矩阵，鳞状因子循环矩阵[3]，置换因子循环矩阵[4]等。求解线性方程组的问题经常出现在相当广泛的实际问题中，特别是一些高阶线性方程组的解，用克莱姆法则，当n很大时，需要大的惊人的计算工作量。因此，对于实际求解一个高阶的线性方程组来来说，理论上是十分漂亮的克莱姆法则并不适用。于是，寻求适用于计算机的切实可行的方法就是应用数学的一个重要的研究方向。循环线性方程组的求解，在

4、线性预测、误差控制码、自回归滤波器设计领域内起着重要作用。在新的循环矩阵被相继提出，以及相关研究的深入，我们也取得很多丰富的成果。在置换因子循环矩阵算法上有了成果[12[13]。在r–循环阵的逆阵或广义逆阵也有了新认识，关于r-循环矩阵的非异性的认识也有新发展。在一些基础理论的前进中，一些关于算法的研究也在飞速的发展中，特别是一些有巨大应用空间的快速算法。如：r-循环线性系统求解的快速算法，置换因子循环系统求解的快速算法[15]。在自回归滤波器设计、计算机时序分析等领域中的许多问题都与周期性有关，从而导致一类特殊的矩阵:r-循环矩阵。r

5、-循环线性系统的求解在普分析，线性预测，最小二乘方估计，误差控制码及自回归滤波器设计等领域内起着重要作用。因此，不少数学工作者对r-循环线性系统的求解引入了多种快速算法[5]。但是他们都要计算大量的三角函数，有的还要将实数化为非实数（虚数）。于是，不仅存在误差，而且还要影响效率。因此有数学工作者引入了新的多项式快速算法[6],该快速算法仅利用r-循环线性系统中r-循环矩阵的第一行元素及r常数项进行计算，故在理论上是精确的，在计算机上实现时只有舍入误差。为了减小误差，可将算法中的数用分数表示。特别，当在有理数域中讨论该线性系统的求解时，用

6、计算机求的解是精确的。该算法有一个显著特点是不需要预先知道r-循环矩阵是非奇异还是奇异。循环矩阵包括了许多循环矩阵的推广类。如果取，其中是单位向量，，那么循环矩阵就是循环矩阵.如果取，，那么循环矩阵就是反循环矩阵.如果取，，那么循环矩阵就是循环矩阵.如果取置换矩阵，，那么循环矩阵就是置换因子循环矩阵.另外循环矩阵，对角因子循环矩阵等都是循环矩阵.但在关于A-循环矩阵的快速求解问题的研究上并未有人涉足过,我们认为A-循环矩阵作为循环矩阵中一种特殊矩阵在一些领域内将会有重大的作用，在A-循环矩阵这方面，国内也有一些学者做出了出色的成果。我们

7、认为如果能在前面学者的基础上，再结合自己的一些研究，在A-循环矩阵系统快速求解的问题上是可以取得不错的成绩的。因此在了解循环矩阵的性质[7][14]以及r-循环分块矩阵的几个性质[8]的基础上，拟将循环线性系统的一些结果推广到A-循环矩阵线性系统中，拟解决的主要问题：(1)A-循环矩阵线性方程组有解的判定，(2)A循环矩阵线性系统求解的快速算法。如果这两个方面解决好，就解决了关于A-循环矩阵的快速算法的一些基本性的问题了，我们相信这次研究成果加上其他一些学者的研究成果对于完善A-循环矩阵的快速算法问题这研究领域是有帮助的。随着A-循环矩

8、阵快速算法的研究的不断深入，其丰富的研究成果对于循环矩阵的研究将有极大帮助，对循环矩阵快速算法题也是有很大帮助的。参考文献：[1]Ontheparityofpermanentsofcirculantmatr