重积分的数值计算文献综述

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1、文献综述重积分的数值计算一、前言部分多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数(多变量的函数)，例如求f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分.设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，对于D的任何分割T，当它的细度<时，属于T的所有积分和都有,则称f(x,y)在D上可积，数J称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作，其中f(x,y)称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域.[1]定积分和不定积分是积分学中

2、的两大基本问题.求不定积分时求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限[2].定积分的几乎所有性质都可以推广到重积分[3].重积分计算是数值计算方法中的一个分支，数值计算方法又是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：函数插值，数值微分和积分，线性方程组的解法等.科学计算是我们人类从事科学探索和研究时必不可少的手段.在计算机技术与计算机得到迅速发展的今天，我们有了快速数字电子计算机的工具，科学计算被推向科学活动的前沿，上升为一种重要的科学.将科学技术中的实际问题转

3、化为数学问题，即根据相关科学理论，建立数学模型，然后求解，这是进行科学计算的前提或先决条件.实际上，许多数学问题是没有办法求出其精确解的.因此，只好通过数值计算方法求其近似值.重积分是数值计算方法里重要的一个部分，应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如，大、中型机电产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航天与航空的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域.[4]二、主题部分2.1梯形求

4、积公式及其复合公式2.1.1梯形求积公式当我们需要计算函数在平面的某个区域上的定积分时候，必须要计算多重积分.在初等微积分中已经学过，2重积分可以化成累次积分计算.于是我们有,(2.1.1)在式(2.1.1)中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域.事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分分限也不必是常数，但是我们把这种情况放到后面来讨论.在累次积分过程中，当对积分时设是常数.当求积节点取为等距节点(k=0,1,…,n,h=(b-a)/n)(2.1.2)时，记x=a+th,则得求积系数=(2.1.3)求积

5、节点为等距节点的求积公式，称为牛顿-科茨公式.在牛顿-科茨公式求积系数公式中，当n=1时有(2.1.4)(2.1.5)将求积系数代入求积公式得到(2.1.6)称为梯形求积公式，它的余项是(2.1.7)设积分区域是矩形,(2.1.8)它的每一边平行于坐标轴，令于是得到4个点.如果f在R内连续，则有(2.1.9)利用梯形公式计算内部积分，(2.1.10)对上式右边再次应用梯形公式，可得.(2.1.11)这式(2.1.11)即梯形求积公式在重积分上的形式.2.1.2复合梯形求积公式应用高阶的Newton-Co

6、tes型求积公式计算积分会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形)又往往因为积分区间步长过大使得离散误差大.然后，若积分区间愈小，则离散误差小.因此，为了提高求积公式的精确度，可以把积分区间分成人若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来.这种公式称为复合求积公式.由于在区间[a,b]上不变号，故由积分中值定理知，存在使得(2.1.12)记h=(b-a)/m,在每个小区间上使用梯形求积公式，便得到，(2.1.13)称之为复合梯形求积公式，它的余项为(2.1.14)其中.(2.1.10)的第2个

7、等号的推导用到了介值定理.把上面的矩形R的边分别分为n等分和m等分，这样便把R分为边长为h和k的mn个小矩形.在每个小矩形上应用梯形求积公式得，(2.1.15)其中.上式可以改写为,(2.1.16)其中是下面矩阵的相应元素，，(2.1.17)式(2.1.17)称为复合梯形求积公式.2.2.1抛物线求积公式梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数.如果用2次或者3次插值多项式那么逼近效果会更好.抛物线求积公式建立的基础就是这种逼近.我们给出两个公式：抛物线求积公式和复合抛物线求积公式.抛物线求积公

8、式也叫辛普森求积公式,复合抛物线求积公式也叫复合辛普森求积公式.我们用2次牛顿-格雷格里向前多项式推到抛物线求积公式，其中结点是均与分布的，相邻两点的距离是：(2.2.1)通过对多项式误差的积分得到积分误差：.(2.2.2)抛物线求积公式需要将积分区间分成偶数个小的子区间.设积分区域是矩形,分别用点，和.划分区间[a,A]和[b,B],其中.这样得到9点,点的分布为,利用式(2.1.9)，并对内部积分用抛物线求积公式，有.(2.2.3)再对