复积分的计算【文献综述】

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1、毕业论文文献综述［学与应用数学复积分的计算复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变两数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。rtr许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲

2、面上就变成单值函数黎曼曲而理论是复变函数域和儿何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起來。近來，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供儿何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。复变函数论在应用方面，涉及的面很

3、广，有很多复杂的计算都是用它來解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它己经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的

4、理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容己成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论屮仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。复变函数作为数学的基础课，它研究的主要对象是解析函数,解析函数在理论和实践中有着广泛的应用。复变函数积分理论乂是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解析函数的重要工具z—。解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明.例如，要证明“解析函数的导函数连

5、续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分•在复变函数的积分理论中，柯西积分定理和柯西积分公式尤为重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式.柯西积分定理是解析函数积分的理论基础，由柯西积分定理推出的柯西积分公式表明，一个在区域内的解析函数可以用一个积分来表达，即解析函数在区域内任意点处的值均可用它在边界上的值通过积分来表示出来，这说明解析函数的值与值Z间是有密切联系的•用柯西积分公式又对证明解析甫数的高阶导数公式•一个解析函数存在任意阶的导数，因而解析函数的导函

6、数仍然是解析函数•可以说，复变函数的微分学是建立在积分学基础之上的，这和实变函数的情形绝然不同.因此复积分的运算具有十分重要的地位和意义本文将从不同的角度对复积分的计算方法作一探讨。若积分所沿的积分路径是不封闭曲线，可根据积分的定义，参数方程法和牛顿一莱布尼兹公式来进行计算若积分所沿的积分路径是封闭曲线，根据被积函数的特征，可以考虑用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶求导公式或柯西留数定理来计算。做题的过程屮分析好积分路径与被积函数的特点，选着最合适的方法，可更快地解决问题。柯西用复变函数的积分计算实积分，这

7、是复变函数论屮柯西积分定理的出发点。有关柯西定理：我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域D任何闭曲线的积分值是否为零的问题・1825年，柯西得到了如下著名的柯西积分定理：定理设.f(z)在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条围线，则Jj(z)dz=O1851年，黎曼在附加条件“厂⑵在D内连续”的情况下，给出柯西积分定理一个简单的证明:黎曼证明：令z=x+iy,/(z)=w(x,y)+iv(x.y),由公式得£f(z)dz=£udx-vdy+z£vdy+udx由假设/'(z)在

8、£)内连续，从而wv,wv,vv,vv在内连续，且满足C-R条件:ux=vy,uy=-vx根据格林(Green)定理有Judx一vdy=0,匚皿+u^y=0,因此「/(z)dz=01900年，古莎（Goursat）在去掉广⑵在D内连续的条件下证明了柯西积分定理，由于其证明较长，故略去不证.Morera定理即柯西积分定理的逆定理如果函数/（z）在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C,我们有fj/（z）6/