无界函数的广义积分

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1、第3页共3页§10.2无界函数的广义积分一无界函数广义积分的概念定义1设在的临近无界（我们称点为的奇点），但对于任意充分小的正数，在上可积，即存在时，称这极限值为无界函数在上的广义积分。记作。如果上述的极限不存在，就称发散。类似可定义（为奇点）.如果在内部有一个奇点，，当和都收敛时，就称收敛，并且有。如果上式右边的任何一个积分发散，就称发散。例1：讨论积分的收敛性。例2：讨论积分的收敛性。二无界函数积分的性质性质1定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。柯西收敛原理（是奇点）收敛的充分必要条件是：，，当时，总有.定义2若积分（是奇点）收敛，就称绝

2、对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛。龙岩学院数计院第3页共3页定理2绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。三无界函数广义积分的收敛性判别法1.柯西判别法设是的奇点，如果，，那么绝对收敛.如果，，那么发散。2.柯西判别法的极限形式如果，则（1）当时，，那么积分绝对收敛；（2）当时，，那么积分发散。例3：求下列广义积分：，。例4：讨论广义积分的收敛性。定义3设在内无界，是唯一的奇点,如果存在，我们就称此极限为广义积分的柯西主值，记为.同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为例5：设，求的主值.例6讨论反常积分的收敛性.龙岩学院数计院第3页共3页解:函数在区间[-1,1]上除

3、x=0外连续,且.由于,即反常积分发散,所以反常积分发散.例7讨论反常积分的敛散性.解:当q=1时,.当q>1时,.当q<1时,.因此,当q<1时,此反常积分收敛,其值为;当q³1时,此反常积分发散.龙岩学院数计院