【信息与计算科学】【毕业论文】定积分的数值计算方法

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1、（　20　届）本科毕业论文（设计）定积分的数值计算方法摘要:数值计算是许多科学与工程计算的核心.定积分的数值计算方法有很多，其中一些常用的计算方法有牛顿-科茨求积公式，梯形求积公式，辛普森求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等．本篇论文主要介绍定积分数值计算的多种方法，并对其中几种做了比较评述，最后给出了梯形求积公式，龙贝格积分法在Matlab环境中的编程实现.关键词：牛顿-科茨求积公式；复合求积公式；高斯求积公式SomenumericalmethodsofdefiniteintegralAbstract:Numericalcalculationisthec

2、oreofmanyscienceandengineeringcalculation.Therearemanynumericalcalculationmethods,includingsomecommonlyusednumericalmethodsareNewton–CotesQuadratureformula,TrapezoidalQuadratureformula,Simpsonformula,CompositeQuadratureformula,RombergQuadraturemethod,GaussianQuadratureformula,chebyshevQuadraturef

3、ormula,andsoon.ThistheiesmainlyintroducesSomenumericalmethodsofdefiniteintegralandcompareseveralofthesemethods,finallygivestheTrapezoidalQuadratureformula,RombergQuadraturemethodintheMatlabenvironmentforprogrammingrealize.Keywords:Newton–CotesQuadratureformula;CompositeQuadratureformula;GaussianQ

4、uadratureformula目录1绪论11.1问题的背景12牛顿-科茨求积公式32.1公式的一般形式32．2梯形公式42．3辛普森公式43复化求积公式63．1复化梯形求积公式63.2复化辛普森求积公式64龙贝格求积公式84．1递推梯形法则84．2龙贝格算法85高斯求积公式95．1高斯求积公式95．2高斯—勒让德（Gauss-Legendre）求积公式105．3高斯—埃尔米特求积公式（Gauss-Hermite）115．4高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式125.5递推型高斯求积136几种数值积分方法的比较评述和Matlab实例14致谢18参考文献191绪论　　1

5、.1问题的背景在科学与工程计算中，经常要计算定积分．（1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出的原函数F就可以得出积分（1．1）的值，即．（1．2）如果原函数F非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如．（1．3）采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由

6、式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过

7、程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．18各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格