定积分的几类特殊解题技巧.pdf

《定积分的几类特殊解题技巧.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第07卷第01期中国水运Vol.7No.012007年01月ChinaWaterTransportJanuary2007定积分的几类特殊解题技巧赵香萍摘要根据积分区间和被积函数的特征讨论了定积分的几种特殊的解题技巧解决了几类原函数不易求出的函数的定积分关键词定积分被积函数对称区间周期函数级数中图分类号O172.2文献标识码A文章编号1006-7973200701-0239-02定积分的计算通常采用两种基本方法一种是将定积分p=12(xx+arctan)

2、2=+0的计算归结到求原函数不定积分的计算也就是利用牛2顿莱布尼兹公式另一种是采用一些

3、特殊的解题技巧这里一定的注意积分区间必须是对称的不求出原函数直接求出积分的值利用周期函数的积分性质求定积分利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时需要用到被积当被积函数是一个周期函数时应特别注意能将积分区分的原函数因此它必须要求被积函数存在原函数它要间巧妙的分段作必要的替换简化运算而周期函数以三求被积函数是连续函数所以用牛顿莱布尼兹公式并不能角函数为最常用的求出所有可积函数的定积分设f(x)在(-¥+¥,)可积且是以T为周期的周期函数a下面介绍一些特殊的方法这些解题技巧不仅可以简化是任意实数必有计算而且还可以将一些无法求出被积函数原函数的定积分a

4、+TTòòf(x)dx=fx()dx很方便的计算出来熟练掌握这些方法会大大提高对定积a0分的解题能力证利用函数的奇偶性和被积区域的对称性TTTa+TTa++TaT在对称区间上求定积分首先要考虑被积函数的奇偶性òò0f(x)=00f(x)++òòaf(x)a+Tf(x)=òf(x)+-òòaTf(x)fx()可以利用奇偶函数在对称区间上的积分的性质简化计算令xTu=+设a>0f(x)在[-a,a]上连续则aì0当为fx()奇函数时aT+aaaf(x)dx=ïía得òfx()dx=òf(T+u)du==òòfu()dufx()òT000-a2

5、fx()dx当为fx()偶函数时ïîò0TaT+aa0故òòfx()dx=f(x)dx证òòòf(x)dx=+fx()dxfx()0a--aa02p2p在右边第二个积分式中令x=-t则例2计算nnIn=òsinxdx及Jn=òcosxdxn是正整数00aaa0òòòòf(x)dx=fx()dx+f(-t)dt=((fxf)+-(x))dx-aa00p解由于nnsinx是以2p为周期的函数故I=sinxdxnò-pa若f(x)为奇函数则f(x)=-f(-x)故òf(x)dx=0-a又当n为奇数时nnsinx是奇函数当n为偶数时sinx是偶函

6、数故当n为奇数时I=0当nk=2时aan若f(x)为偶函数则f(x)=f(-x)故òòf(x)dx=2fx()dxp-a0p22kk22kk--1233I=2sinxdx==4sinxdx····Lp2kòò002224kk-21xx+sin例1求定积分dxò-11+x22p特别当n=2即k=1时2òsinxdx=p0x2sinx解因为是偶函数是奇函数所以有n1+x21+x2由cosx是偶函数且是以2p为周期的函数故pJp222pn2nn1x+sinx1x11sinxxJ=2cosnxdx=+òòcosxdxpcosxdxdx=+=dxd

7、x2dxnò020ò-11+x2ò--110111+++xxx222òò2收稿日期2006-11-21作者简介赵香萍女1968延安电大教学处主任716000240中国水运第07卷pnnn++12于cosxdx中作换元xt=-p则txxòp其中R=()---×××dxnò20nn++12pppnnnnn由于0R=-+[]+×××n(n+1)(n+2)(nn++2)(3)因此当n为奇数时J=0当n为偶数结果也与I一样

8、nn2p11特别cos2xdx=p>-+[]+×××ò(n+1)(n+2)(nn++2)(3)01111=--+-[()()]+×××利用三角函数的特殊性质n+1n+2nn++231=-三角函数有它特殊的性质如sinxx=-sin()pn+122sinxx+=cos1等等灵活地运用这些公式来简化定积分的计算于是有式知pppp231n+2tæöttt1ò0xf(sinxd)x==2òò00f(sinxd)xpf(sin)xdxò0ln(1-x).dx-ç÷---×××-<èø1·22·3nnn(++1)1证令tx=-p则在式中让n固定而令t

9、®1-0取极限注意瑕积ppppòxf(sinxd)x=ò(pp-t)f(sint)dt=-òòf(sintd)ttf(sin)tdt00001分òln(1)-xdx显然收敛得ppp0即òòxf