定积分的几类特殊解题技巧69725new

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1、第四章“积分”简介一、内容和要求“积分”一章主要包括不定积分的概念及其运算、定积分的概念与性质、定积分的应用三部分。“不定积分的概念及其运算”主要是运用基本积分公式表，求不定积分的过程；“定积分的概念与性质”主要是理解并掌握定积分的概念，定积分的概念是本章最重要的概念，是学习其他内容的基础；“定积分的应用”主要介绍定积分在几何上的应用和在力学上的简单应用。（一）不定积分概念及其运算不定积分概念及其运算包括原函数和不定积分的概念、基本积分公式、不定积分的运算法则、直接积分法、第一换元积分法等。不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材在学生掌握求导数方法的基础上，求原函数或不定积分。由于

2、在一定的条件下，求不定积分与求导数互为逆运算，因此学习本部分时，要与“导数与微分”一章的有关内容对照。特别是基本积分公式与常见函数的导数的对应（如下表）基本积分公式常见函数的导数不定积分中的运算及化归的内容非常丰富，涉及的积分方法有：直接积分法和第一换元积分法，它是进一步培养学生运算及化归能力的良好素材。不定积分的内容与导数的内容紧密相联，由于导数与积分之间的逆运算关系，所以大纲中强调一定的运算能力及变换技巧，但在高中阶段不应过分强调，否则容易成为学习的一种障碍，因为求不定积分及定积分涉及很多的运算及技巧，在高中安排积分的初衷似主要不是在此方面。学生只需学会用直接积分法和第一换元积分法求不

3、定积分即可。本部分的教学要求：1．掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质。2．熟记基本积分公式（），会利用线性性质和第一换元积分法求简单函数的不定积分。（二）定积分的概念与性质定积分的概念是“积分”一章中最重要的概念。定积分是在学习了极限、导数、微分及不定积分的基础上来学习的，它的理论基础是极限。定积分的概念是微积分重要而又基础的内容，定积分中“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的。教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法

4、，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑。现在定积分已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。微积分基本公式即牛顿--莱布尼茨公式。牛顿--莱布尼茨公式的建立，揭示了定积分与不定积分的内在联系，给出了计算定积分的一般的简便而适用的方法，使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分

5、学的迅速发展。因此，可以说，牛顿--莱布尼茨公式的出现，是积分学建立与发展的转折点，是积分学有如此广泛应用的关键。正是由于这个公式本身的特点和历史上的作用，所以又称它为微积分基本公式。本部分的教学要求：1．了解定积分概念的某些实际背景（曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等），了解定积分的定义和定积分的几何意义，知道函数连续是定积分存在的充分条件。2．理解定积分的线性性质及对区间的可加性；了解（用直线运动的速度与路程的关系引出）微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），了解公式成立的条件，会用这个公式求一些函数的定积分。（三）定积分的应用定积分的应用主要将用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体

6、积、变速直线运动的路程、变力作功以及对极坐标系的初步介绍和在极坐标系中求平面图形的面积。学习这部分内容，要达到以下目的：1．有助于对定积分是“和的极限”的思想的了解，即分割→近似代替→求和→取极限的思想方法．2．使学生学会用定积分解决在几何中用初等数学方法无法解决的面积、体积问题，力学方面的计算问题，从而进一步体会学习定积分的必要性．3．形数结合，加深对定积分几何意义的理解，不但能够求出关于某些平面图形的面积以及空间图形的体积的定积分表达式的值，而且知道某些简单的定积分表达式的几何意义．4．知道在求平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功时，定积分是一种普遍适用的方法．5

7、．对几何图形的基本度量--面积、体积等概念有较为完整的认识。6．了解极坐标的概念，会求极坐标系中简单的平面图形的面积。二、编写特点（一）突出基本概念和基本思想“定积分”既是本章的基本概念，又是基本思想。定积分应用的有关内容都是围绕定积分的基本思想展开的，所以掌握好定积分的基本思想是本章的关键。教材除在“定积分的概念与计算”一节中重点介绍“定积分”的概念、思想外，又利用定积分的思想推导出旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形