积分变换表和几类特殊函数.pdf

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1、附录：积分变换表和几类特殊函数一.傅里叶变换函数表原函数f()x像函数F()ω11+∞∞−iωxfx()=Fe()ωiωxdωFf()ω=∫()xedx2π∫−∞−∞2⎧1,x≥01Hx()=⎨+πδ()ω⎩0,x<0iω312πδ()ω4sgnx2iω5cosω0tπ[(δωωδωω++−00)()]6sinω0tiπ[(+)(δωω00−−δωω)]7t2πi()δ′ω8nn()nt2πi(δω)9⎧⎪ex−ax,0≥1fx()=>⎨(a0)⎪⎩0,x<0a+iω10⎧⎪ex−ax,0≥2afx()=>⎨(a0)22axa+ω⎪⎩ex,0<11

2、

3、x−22ω1212

4、π

5、

6、x

7、

8、ω13⎧1,0≤≤xbi⎡−iωb−⎤fx()=>⎨(b0)⎣e1⎦⎩0,−≤⎨(b0)⎩−−≤<1,bx0ω1πaω15,Re()0a<−e22ax+a16xiωπaω,Re()0a

9、−at1te−at12p+a(p+a)4na−tn!ten!nt(n=,2,1L)pn+1(1n=,2,)L(p+a)n+15ωpcosωt22sinωtp2+ω2p+ω6222ωpp−ωtcosωt222tsinωt222()p+ω(p+ω)27asin(at)aπ−sinata4parctge()2pptp8e−atsinωtωet−atωpa+cos2222()pa++ω()pa++ω91−at11−−atbt12()at−+1e()ee−2ap()pa+ba−()p++apb()101−−btatpchktp()be−ae22ba−()p+apb()+p−k11

10、11Jt()10πtp2p+1212b12∞−y211−e−bp∫uedye−pu(u≥)0e4tπp2tpπt三.连带勒让德函数m22lm+ml(1−xd)2p()xx=−(1)lll+m2!ldx−mm()lm−!p()x=p()xll()lm+!1122p()(1xx=−)=sinθ111223p()3(1xx=−)x=sin2θ=3sincosθθ222232p()3(1xx=−=−)(1cos2)3sinθ=θ221123322153p()xx=−(1)(5x−=1)(sinθ+5sin3)θθθ=6sin−sin328222152p()15(1xx=−=)x

11、(cosθ−cos3)15sincosθθ=θ343322153p()15(1xx=−=)(3sinθ−sin3)15sinθθ=341125523153p()xx=−(1)(7x−=3)x(2sin2θ+7sin4)10sincosθθ=θθ−sincos421622252521054p()xx=−(1)(7x−=+1)(34cos2θ−7cos4)45sinθθθ=−sin4216233221053p()105(1xx=−=)x(2sin2θ−=sin4)105sinθθcosθ484221054p()105(1xx=−=−)(34cos2θ+=cos4)105si

12、nθθ48四.球贝塞尔函数（一）球贝塞尔函数的模2在半径为r的球的内部解亥姆霍兹方程的定解问题，求得本征函数j(kr)，其中k是0lnn根据齐次边界条件确定的本征值。()l计算j(kr)的模N，lnn22()l2rr002π⎡⎤⎣⎦Nknl==∫∫00[]j(nr)rdr⎡⎤⎣⎦Jl+12(knr)rdr.2kn这就转化为计算J()kr的模。积分得到ln+12⎧⎪⎡⎤+2⎫⎪⎡⎤()l2=−π⎨⎢⎥2(2l1)⎡⎤⎡22+2⎤⎬NrJ()krrJ'().kr（1）⎣⎦nl44kk02⎣++120n⎦⎣01l20n⎦nn⎩⎭⎪⎣⎦⎪进一步的计算取决于边界条件。第一类齐次边

13、界条件j(kr)0=，即J()0kr=。式（1）成为ln0ln+1202()l2πr02⎡⎤Nk=⎡J'(r).⎤（2）⎣⎦nl4k⎣+12n0⎦n第二类齐次边界条件[dkrdj()r]=0，即kkJ'(rk)J−(r)2r=0。ln0rr=nl++12n0l12n000利用此式消去式（1）中的J'(kr)，得ln+120()l2π⎡⎤2ll(1+)2⎡⎤Nr=−⎢⎥⎡J().kr⎤（3）⎣⎦nl4kk012⎣+2n0⎦nn⎣⎦第三类齐次边界条件j(kr)+H[dkrdrj()]=0，即ln0lnrr=02rH−0J()kr+HkJ'()