微积分课件4-3几类特殊函数的积分

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1、第三节几类特殊函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理数的积分三、简单无理函数的积分四、小结.一有理函数的积分两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：其中都是非负整数；及都是实数，并且假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和其中都是待定的常数.2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式.特殊地：分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中都是待定的常数

2、（1）分母中若有因式，则分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为其中iiNM,都是待定的常数),,2,1(kiL=.特殊地：分解后为例1方法一（比较系数法)；方法二（赋值法）令得；令得两种方法都能得到例2例3求积分解有理真分式的积分归结为求下面四种类型的部分分式的积分：(1)；(2)；(3),(4),下面逐一给出他们的求法.;(1);(2)当时,(3)当时,(4)当时,且这里,,记则:即而结论有理函数的原函数都是初等函数.虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这个原理，而要根据情况，把积分尽量简

3、化.例4求解例5求解例6求解三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）解由万能置换公式例7求积分例8求积分解（一）令解（二）修改万能置换公式,解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9求解设即例10求，解令,则于是首先讨论类型解决方法作代换去掉根号.例11求积分解令三、简单无理函数的积分例12求积分解令例13求令解接着讨论形如的积分.例14求解则,令,对于某些含有二次根

4、式的不定积分，还可以用“倒代换”的方法来做.例15求解设,当时,有当时也有同样结果.当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例16求解令例17求解有理式分解成部分分式之和的积分.(注意:必须化成真分式)三角有理式的积分.(万能置换公式)(注意:万能公式并不万能)简单无理式的积分.四、小结