集合的基本概念.ppt

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1、离散数学吉林大学计算机科学与技术学院智能决策与自动推理教研室离散数学第一章集合论基础第二章命题逻辑第三章一阶逻辑第四章图与网络第五章数论基础第一章集合论基础§1.1集合的基本概念§1.2关系§1.3映射康托尔(Cantor)§1.1集合的基本概念什么是集合(Set)？“所要讨论的一类对象的整体”；“具有同一性质单元的集体”通常，用大写的英文字母A,B,C,……表示集合；1、二十六个英文字母可以看成是一个集合；2、所有的自然数看成是一个集合；3、吉林大学计算机学院2001级的本科学生可以看成是一个集合；4、这间教室中的所有座位可以看成是一个集合

2、。例如:集合的元素(member或element)组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的元素。通常，用小写的英文字母a,b,c,…表示集合中的元素设A是一个集合，a是集合A中的元素，记以aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素，则记以aA，读作a不属于A。例如：A是正偶数集合，则2A，8A，36A；而3A，9A，17A属于(belongto)包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集(finiteset)；包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集(infiniteset)。例：所有英文字母组成的集合是有限集，整数集合是无限

3、集。有限集、无限集约定，存在一个没有任何元素的集合，称为空集(emptyset)，记为，有时也用{}来表示。约定，所讨论的对象的全体称为全集(universalset)，记作E或U，我们所讨论的集合都是全集的子集。全集是相对的。空集、全集设A是有穷集合，A中元素的个数称为集合A的元素数，记为A。例如，设A是所有英文字母组成的集合，则A=26。特别，

4、

5、=0集合的元素数列举法；将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：V={a,e,i,o,u}或B={1,4,9,16,25,36……}。描述法；通过描述

6、集合中元素的共同特征来表示集合，例如：V={x

7、x是元音字母}，B={x

8、x=a2,a是自然数}集合的表示法文氏图(VennDiagram)用一个大的矩形表示全集，在矩形内画一些圆或其它的几何图形，来表示集合，有时也用一些点来表示集合中的特定元素。例如：集合V={a,e,i,o,u}，用文氏图表示如下:EVau确定性；互异性；无序性；多样性；集合的特征任何一个对象，或者是这个集合的元素，或者不是，二者必居其一；例如：A={x

9、x是自然数，且x<100}B={x

10、x是年轻人}C={x

11、x是秃子}确定性集合中任何两个元素都是不同的，即集合中不允许

12、出现重复的元素。例如：集合A={a,b,c,c,b,d}，实际上，应该是A={a,b,c,d}互异性集合与其中的元素的顺序无关例如：集合{a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、{e,c,d,b,a}，都是表示同一个集合。无序性集合中的元素可以是任意的对象，相互独立，不要求一定要具备明显的共同特征。例如：A={a,{a},{{a},b},{{a}},1}A={1,a,*,-3,{a,b},{x

13、x是汽车},地球}多样性设集合S={A

14、A是集合，且AA}若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有SS，与假设矛盾；若SS，则S

15、是不以自身为元素的集合，则根据S的定义，有SS，与假设矛盾；罗素悖论(Russell’sparadox)当两个集合A和B的元素完全一样，即A，B实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，记以A=B。例：设A={x

16、x是偶数，且0

17、ubset)设A={2,4,6,8}，B={x

18、x是正偶数}，C={x

19、x是整数},则有AB，BC，AC,并且AB，BC，AC。例：对任意集合A,有AA。空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。对于任意两个集合A、B，A=B的充要条件是AB且BA。重要结论是否存在集合A和B,使得AB且AB？若存在，请举一例。讨论：设A是集合，A的所有子集为元素做成的集合称为A的幂集，记以(A)或２A。即：(A)={S

20、SA}例：A={a,b,c}，则(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b

21、,c}}【定义3】幂集(powerset)若A为有穷集，

22、A

23、=n，则

24、2A

25、=Cn0+Cn1+…+Cnn=2n。x(A)当且仅当xA。设A、B是两个集合，A