集合的基本概念1

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1、离散数学(I)主讲教师：李占山计算机楼A338E-mail:zslizsli@163.com课程安排本学期讲课学时：64课程性质：必修《离散数学》孙吉贵等-----高等教育出版社参考教材:1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等-----高等教育出版社2《集合论与图论》耿素云编著北京大学出版社3《离散数学-精讲精解精练》黄健斌编著西安电子科技大学出版社离散数学(I)第一章集合论基础第二章命题逻辑第三章一阶逻辑第四章图与网络第五章数论基础第一章集合论基础§1.1集合的基本概念§1.2关系§1.3映射集合论与第

2、三次数学危机集合是一个原始概念,最初是从分析数学中产生的。1854年德国数学家黎曼在研究傅氏级数时，得出结论说：“若f(x)在区间上除有限个第一类间断点外是连续的，则在连续点，函数的三角函数收敛到函数值。”这时需要考虑这些连续点的整体，于是人们逐渐产生了点的集合的原始概念；对于集合概念的提出，起首要作用的人物是德国大数学家康托尔，他是数学史上公认的集合论的创始人。1871年，他给出集合的第一个定义，且引入点集的极限点、闭集、开集、交集、并集等概念，1874年康托尔证明了代数数与有理数集的可数性和实数集的不可数

3、性，1878年他又引入集合“势”的概念。康托尔的工作具有革命性，一时难以被多数数学家接受，但数学的历史已有结论表明康托尔的集合论是分析数学与离散数学不可或缺的有力工具。为此我们来了解一下康托尔与罗素康托尔(Cantor)康托尔简介康托尔(GeorgCantor)1845年出生于俄罗斯的圣彼德堡，康托尔十多岁时就对数学产生了浓厚的兴趣。1862年他在苏黎世开始了他的大学学习，1863年又在柏林大学继续学习，并得到著名数学家外尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克的指导。特别是受了外尔斯特拉斯的影响而专攻纯粹数学，1866

4、年完成了一篇数论方面的博士论文后获得博士学位。1869年康托尔得到了哈雷大学的一个职位，1879年任哈雷大学教授。1891年，康托尔组建德国数学家联合会，任第一任主席。1904年，伦敦皇家学会授予他最高荣誉：西尔威斯特（slvester)奖章。康托尔这个人是数学界的奇才，他为数学的新奇思路和独特创造以及丰富的想象力，成为当时数学界有争议的人物。但最终成为后世数学家学习与敬仰的模范。康托尔的老师克罗内克是个“有穷论者”，他反对康托尔的“超穷数”的集合论观点，他不仅对康托尔的学术工作粗暴攻击，还竭力阻止康托尔去柏

5、林大学工作，由于克罗内克的权威地位，使得其他数学家也跟着攻击康托尔的工作，使康托尔试图在柏林大学得到一个更高待遇的计划受挫。1918年死于精神病诊所。康托尔最著名的著作是1895-1897年出版的《超穷理论基础》（两卷集），康托尔指出，数学理论必须肯定实无穷，因为很多最基本的数学性质，例如一切正整数，圆周上的一切点等，事实上都是实无穷性的概念。而且不能把能有穷所具有的性质强加于无穷。他的“一一对应”的原理突破了传统的“整体大于部分”的旧观念，例如全体正整数与（其部分）全体正偶数一一对应，正整数集与正偶数集等势

6、，相当于传统上的“个数相等”。康托尔的集合论现在称为朴素集合论，1871年他对集合给了一个朴素的限制宽松的定义；“把一定的并且彼此可以明确识别的事物（这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象）放在一起，称为一个集合，这些事物中的每一个称为该集合的一个元素。罗素简介罗素（BertrandRussell,1872-1970)生于一个以积极参与进步运动，热烈地投身于自由事业而著名的英格兰家庭。年幼就成为孤儿的罗素由祖父抚养，并在家里接受教育。1890年他进入剑桥的Trinity学院学习数学和论理学，并由于在几何

7、学方面的工作突出为他赢得了一个研究员位置。1910年Trinity学院任命他教授逻辑和数学原理的课程。罗素最伟大的工作是他提出的可以作为所有数学学科基础的原理。他最著名的文章是与人合作的《PrincipiaMathematica》，这篇文章试图用一组基本公理推导出所有的数学。此外，他还写了包括哲学、物理和他的政治观点的很多书籍，1950年罗素赢得诺贝尔文学奖。大厦基兮矗云天，  数学砥柱兮两撑竿。  集合论兮康托儿峰颠巅，  逻辑理兮舌战群儒无辩。§1.1集合的基本概念什么是集合(Set)？“所要讨论的

8、一类对象的整体”；“具有同一性质单元的集体”通常，用大写的英文字母A,B,C,……表示集合；1、二十六个英文字母可以看成是一个集合；2、所有的自然数看成是一个集合；3、吉林大学计算机学院2007级的本科学生可以看成是一个集合；4、这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。例如:集合的元素(member或element)组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的元素。通常，用小写的英文字母a,b,c,…