集合的基本概念

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1、第二章機率2－1集合的基本概念2－2古典機率2－3條件機率與獨立事件2－4數學期望值2－4機率的應用1.集合的基本概念2.子集3.聯集4.交集5.差集6.宇集與補集2-1集合的基本概念集合的基本概念由一些明確而可以辨別之事物所組成的群體稱為集合。而組成集合的每一事物，稱為這集合的元素。集合的概念只著重於它所含的元素，除此之外，並無任何條件。換句話說，一個集合完全由它所含的元素來決定。子集若集合A中的每一個元素都是集合B的元素，則稱A為B的子集。(或稱A為B的部分集合)。以或　　來表示。設A、B為二集合，則由A與B之所有元素所成的集合，稱為A與B的聯集，如下圖斜線部分所示，記作

2、即聯集交集設A、B為二集合，則由A與B之共同元素所成的集合，稱為A與B的交集，如下圖斜線部分所示，記作即差集設A、B為二集合，則屬於A而不屬於B的所有元素所成的集合，稱為A與B的差集。如下圖斜線部分所示，記作即宇集與補集(1)在研究集合問題中，若每一個集合都是某一固定集合的子集，則這個固定集合稱為宇集(或基集)，通常以U表示之。(2)若集合A為宇集U的子集，則所有屬於U而不屬於A之元素所成的集合，稱為A的補集(即U–A)，記作，即，但2-2古典機率1.樣本空間2.事件3.事件的性質4.拉卜拉斯古典機率5.機率的性質樣本空間在一個隨機試驗中，所有可能發生結果所形成的集合

3、，稱為此試驗的樣本空間，通常以S表之。樣本空間中的每一個元素（即每一種可能發生的結果）稱為一個樣本點（或簡稱為樣本）。事件樣本空間S的每一個子集稱為一個事件，而只有一個樣本點的事件，又叫做基本事件。若E為S的一個子集，且隨機試驗的結果屬於集合E，我們稱事件E發生。事件的性質設A、B為同一樣本空間的二事件，則稱為A和B的和事件；稱為A和B的積事件；而A´稱為事件A的餘事件。如果，則稱A、B為互斥事件，即事件A和事件B不可能同時發生。拉卜拉斯古典機率設一隨機試驗的樣本空間S中，每一個樣本點出現的機會均等，而為一事件，則事件A發生的機率為A之元素個數與S之元素個數的比值，記作其中n

4、(A)、n(S)分別為A與S的元素個數。機率的性質(1)(2)(3)為一事件，則(4)餘事件的機率：(5)機率的加法性：(6)機率的單調性：若，則1.條件機率2.條件機率的乘法公式3.獨立事件4.獨立事件的性質(一)5.獨立事件的性質(二)2-3條件機率與獨立事件條件機率設A、B為樣本空間S中的二事件，且P(B)>0，則在事件B發生的情況下，事件A的條件機率為條件機率的乘法公式(1)設A、B為同一樣本空間的二事件，若P(A)>0、P(B)>0，則(2)設A、B、C為同一樣本空間的事件，若，則獨立事件設A、B為樣本空間S中的任二事件，若則稱A、B為獨立事件，否則稱為相依事件。獨

5、立事件的性質(一)設A、B為獨立事件，則下列各對事件亦為獨立事件：(1)A與(2)與B(3)獨立事件的性質(二)設A、B為獨立事件，則下列各式均成立：(1)(2)(3)(4)1.分　割2.分割的性質3.事件的數學期望值4.隨機試驗的數學期望值2-4數學期望值分割設A1,A2,……,An為樣本空間S中的任意n個事件，且滿足(1)(2)則稱{A1,A2,……,An}為樣本空間S的一個分割。分割的性質(1)一個樣本空間S可以有數種不同的分割，即S的分割不唯一。(2)設A為樣本空間S的任一事件，則為S的一個分割。(3)若{A1,A2,……,An}為樣本空間S的一個分割，則事件的數學

6、期望值設事件A發生的機率為P，若事件A發生即可得數值m的報酬，則Pm稱為事件A的數學期望值，簡稱期望值，通常以E表示，即E=Pm隨機試驗的數學期望值設一隨機試驗的樣本空間為S，{A1,A2,……,An}為樣本空間S的一個分割，且事件Ai發生的機率為Pi(i=1,2,……,n)，若事件Ai發生可得數值mi(i=1,2,……,n)的報酬，則稱為此隨機試驗的數學期望值，簡稱期望值。1.重複試驗2-5機率的應用重複試驗在一隨機試驗中，某事件成功（發生）的機率為P，則在n次重複此一隨機試驗(1)恰出現r次成功的機率為。(2)至少出現一次成功的機率為。