集合的基本概念和运算

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1、集合的基本概念和运算主要内容集合的基本概念—集合、相等、(真)包含、子集、空集、全集、幂集集合运算—交、并、(相对和绝对)补、对称差文氏图—有穷集计数问题集合恒等式集合的基本概念集合(Set)是不能精确定义的基本概念。所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。(康托)直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如：方程x2－1＝0的实数解集合：26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；……集合通常用大写的英文字母来标记。常见的数的集合N—自然数集合Z—整数集合Q

2、—有理数集合R—实数集合C—复数集合集合的表示方法表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。列元素法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。A＝{a，b，c，…，z}Z＝{0，±1，±2，…}C＝{桌子,灯泡,老虎,自然数}谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。B＝{x

3、x∈R∧x2－1＝0}许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。集合的元素集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是无序的。例

4、如：{1，2，3}＝{3，1，2}元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，bA，{d}A。b和{d}是A的元素的元素。可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。集合作为结点，它的元素作为其儿子。说明隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。规定：对任何集合A都有AA。Aa{b,c}d{{d}}bc{d}d子集定义6.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含

5、B，记作BA。包含的符号化表示为BAx(x∈B→x∈A)如果B不被A包含，则记作BA。例如：NZQRC，但ZN。显然对任何集合A都有AA。隶属和包含的说明隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。（本书的系统中把集合中的元素也看做（同一层次的）集合）例如A＝{a，{a}}和{a}既有{a}∈A，又有{a}A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合。集合相等定义6.2设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作A＝B。相等的符号化表示为：A＝BAB∧BA如果A与B不相

6、等，则记作A≠B。真子集定义6.3设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集，记作BA。真子集的符号化表示为BABA∧B≠A如果B不是A的真子集，则记作BA。例如：NN空集定义6.4不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集的符号化表示为：＝{x

7、x≠x}。例如:{x

8、x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。空集的性质推论空集是唯一的。证明：假设存在空集1和2，由上述定理有12，21。根据集合相等的定义，有1＝2。定理空集是一切集合的子集。证明：任给集合A，由子集定义有Ax(x∈→x∈

9、A)右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以A也为真。n元集含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元子集。例A＝{1,2,3}，将A的子集分类：0元子集（空集）1元子集（单元集）{1}，{2}，{3}2元子集{1,2}，{1,3}，{2,3}3元子集{1,2,3}幂集一般地说，对于n元集A，它的0元子集有个，1元子集有个，…，m元子集有个，…，n元子集有个。子集总数为定义设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)(或PA，2A)。幂集的符号化表示为P(A)＝{x

10、xA}若A是n元集，则P(A)有2n个元素。全集定义在一个具

11、体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。说明全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。例如，在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集，也可以把整个空间(空间上所有点的集合)取作全集。一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。集合的运算定义6.7设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下：A∪B＝{x

12、x∈A∨x∈B}