《离散数学》集合的基本概念和运算

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1、第3章集合的概念集合的概念集合是数学中最重要的概念，集合理论是数学中最重要的理论。十九世纪七十年代，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人深入研究实数理论，建立起极限论的基本定理，不仅为微积分建立起严格的理论基础，也导致了集合论的诞生。集合论分朴素集合论和公理化集合论。集合论被广泛应用在计算机科学中，如数据结构、操作系统、数据库、知识库、编译原理、形式语言、程序设计、人工智能、信息检索、CAD等。第3章集合的概念与运算一、什么是集合？只能给予直观的描述。所谓集合（Set），就是把人们直观的或想象中的某些确定的能够

2、区分的对象汇合在一起组成的一个整体。组成集合的各个对象，称为这个集合的元素（Element）或成员（Member）。①通常，用大写字母A，B，C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示元素。②集合与元素之间的关系－“属于”关系aAaB3.1集合的基本概念二、集合的表示⑴列举法将集合中的元素一一列举出来，或者列出足够多的元素以反映集合中成员的特征，并用花括号将元素括起来，其表示形如：A={a1，a2，…，an}A={a1，a2，a3,…}列举法必须把元素的全体尽列出来，不能遗漏任何一个，并且集合中的元素

3、没有顺序之分且不重复。3.1集合的基本概念⑵谓词表示法用一个谓词来描述集合中元素具有的共同性质。表示形式如A={x

4、P(x)}意义是：集合A由且仅由满足性质P的那些对象所组成，也就是说a∈A当且仅当a满足性质P。3.1集合的基本概念练习用列举法表示下列集合（1）A={a

5、a∈P且a<20}（2）B={a

6、

7、a

8、<4且a为奇数}2.用描述法表示下列集合(1)A={0,2,4,…,200}(2)B={2,4,8,…,1024}{2,3,5,7,11,13,17,19}{-3,-1,1,3}{2x

9、x∈Z且x≤1

10、00}{2n

11、n∈N且n≤10}3.1集合的基本概念集合与元素元素与集合的关系：隶属关系属于，不属于实例A={x

12、xRx2-1=0},A={-1,1}1A,2A注意：对于任何集合A和元素x(可以是集合)，xA和xA两者成立其一，且仅成立其一.隶属关系的层次结构例3.1A={a,{b,c},d,{{d}}}{b,c}AbA{{d}}A{d}AdA包含（子集）ABx(xAxB)不包含A⊈Bx(xAxB)相等A=BABBA不相等AB真包含ABABA

13、B不真包含AB思考：和的定义注意和是不同层次的问题一、集合之间的关系例1A={a,b,c,d},B={a,e,x,y,z},C={a,x}则CB，C⊈A，B⊈A，A⊈B3.1集合的基本概念集合的包含关系具有如下几条性质：⑴对任意集合A，A；⑵自反性：AA⑶反对称性：若AB且BA，则A＝B⑷传递性：若AB且BC，则AC⑸若

14、A

15、＝n，则A有2n个子集3.1集合的基本概念空集与全集空集不含任何元素的集合实例{x

16、x2+1=0xR}就是空集定理空集是任何集合的子集Ax(

17、xxA)T推论空集是惟一的.证假设存在1和2，则12且12，因此1=2全集在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E全集具有相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即A(AE)三、幂集（PowerSet）定义1.2.2给定集合A，以A的所有子集为元素的集合称为A的幂集，记作P(A)。例3A=，B={，a，{a}}P（A）＝P（B）＝｛，｛｝，｛a｝，{{a}}，{，a}，｛，｛a｝｝，｛a，｛a｝｝，｛，a，｛a｝｝｝3.

18、1集合的基本概念集合的基数设A为任一集合，用

19、A

20、(或#A)表示A中不同元素的个数，称为集合A的基数，有：若

21、A

22、=0，则称A为空集合（EmptySet），记为；若

23、A

24、为某自然数，则称A为有限集合（FiniteSet）；若

25、A

26、为无穷，则称A为无限集合（InfiniteSet）3.1集合的基本概念::{a1},{a2},…{an}:{a1,a2},{a1,a3}…:{a1,a2,…,an}…证明设A={a1,a2,…,an},从n个元素中选取m个元素的方法有种，所以A的子集个数为注：设A是有限集，则.3

27、.1集合的基本概念练习1设A={a,b,{c},{a},{a,b}}，试指出下列论断是否正确？(1)aA()(8){b}A()(2){a}A()(9){a,b}A()(3){a}A()(10){a,b}A()(4)A()(11)cA()(5)A()(12){c}A()(6)bA()(13){c}A()(7){b}A()(14){a,b,c}A()3.1集