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1、华中师范大学计算机科学系离散数学第三章集合的基本概念和运算第三章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合中元素的计数3.4笛卡尔乘积3.1集合的基本概念集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。如果属于，就称它为这个集合的元素。集合通常用大写的英文字母来表示。集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如，，，都是合法的
2、表示。谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如，，集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序对集合没有影响。3.1集合的基本概念定义3.1.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记作B⊆A。包含的符号化表示为定义3.1.2设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B，则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为由以上定义可知，两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素。如，则A=B。3.1集合的基本概念定义3
3、.1.3设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。真子集的符号化表示为B⊂A⇔B⊆A∧B≠A如果B不是A的真子集，则记作。例如{0,1}是{0,1,2}的真子集，但{0,3}和{0,1,2}都不是{0,1,2}的真子集。定义3.1.4不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø，空集可以符号化表示为Ø={x
4、x≠x}定理3.1.1空集是一切集合的子集。证明：任何集合，由子集定义有右边的蕴涵式中因前件为假，所以整个蕴涵式对一切x为真，因此为真。3.1集合的基本概念推论空集是唯一的。一般地，称集合A的子集Ø和A为A的平凡子集。含有n个元素的
5、集合简称n元集，它的含有m个(m≤n)元素的子集称作它的m元子集。任给一个n元集，如何求出它的全部子集呢？例3.1.4A={a,b,c}，求A的全部子集。解：将A的子集从小到大分类：0元子集，即空集,Ø；1元子集，即单元集，{a}，{b}，{c}；2元子集，{a,b}，{b,c}，{a,c}；3元子集，{a,b,c}。一般地，对n元集A，它的m(0≤m≤n)元子集有个，不同的子集总数有3.1集合的基本概念定义3.1.5设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集，记作ρ(A)。幂集的符号化表示为ρ(A)={x
6、x⊆A}对于例3.1.4中的集合A有ρ
7、(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。定义3.1.6在一个具体的问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作U。全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。例如在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面（平面上所有点的集合）取作全集，也可以把整个空间（空间上所有点的集合）取作全集。一般地，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。第三章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合中元素的计数3.4笛卡尔乘积3.2集
8、合的基本运算3.2.1集合的运算3.2.2集合运算算律3.2.1集合的运算给定集合A和B，可以通过集合的并∪，交∩，相对补-，绝对补～和对称差等运算产生新的集合。定义3.2.1设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A-B分别定义如下：显然A∪B由A或B中的元素构成，A∩B由A和B中的公共元素构成，A-B由属于A但不属于B的元素构成。把以上定义加以推广，可以得到n个集合的并集和交集，即3.2.1集合的运算定义3.2.2设U为全集，A⊆U，则称A对U的相对补集为A的绝对补集，记作~A。定义3.2.3设A，B为集合，则A与B的对称差
9、为A与B的对称差还有一个等价的定义，即。例3.2.1A={0,1,2}，B={2,3}，计算或集合之间的相互关系和有关运算可用文氏图给出形象的描述。3.2集合的基本运算3.2.1集合的运算3.2.2集合运算算律3.2.2集合运算算律任何代数运算都遵从一定的算律，集合运算也不例外。下面给出集合运算的主要算律，其中A，B，C表示任意的集合。幂等律结合律交换律分配律同一律零律排中律矛盾律吸收律双重否定律德·摩根律3.2.2集合运算算律续除了以上算律，还有一些关于集合运算性质的重要结论，在此一并给出。建立了相对补运算和交运算之间的联系，可以利用它将相对补转变成
10、交。给出了的三种等价的定义，为证明两个集合之间包含关系提供了新方法，同时也可以用于集合公式的化
