集合的基本概念和运算

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1、第三章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念集合、元素、子集、包含、集合相等、真子集、空集、幂集、全集3.2集合的基本运算并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、文氏图、算律、3.3集合中元素的计数基数、有(无)穷集、包含排斥原理1集合的基本概念和运算集合的定义关系（相等、包含）集合的基本运算∪,∩,—,~,集合元素的计数表示3.23.32集合(set)的概念把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集合可确定的可分辨的事物构成的整体例：教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自然数的全体、直线上的点、26个英文字母、3元素集合内

2、的对象称为元素集合通常用大写英文字母标记。例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。4趣味思考任意自然数都可以表示为两个自然数的平方差吗?请严谨、详细分析说明.5集合的表示列举法：A={a,b,c,d}描述法：B={X∣P(x)}P(x)是谓词，概括集合中元素属性B={x∣x∈Z∧3＜X≤6}即B={4，5，6}元素a属于集合A，记作a∈A。元素a不属于集合A，记作aA(元素无次序、不重复)6集合的例子Thesetofpositiveintegersandzero自然数集Thesetofallintegers(positiveandn

3、egativeintegersandzero)整数集thesetofallpositiveintegersZ+=正整数集Thesetofallrationalnumbers有理数集thesetofrealnumber实数集A={a,{b,c},d,{{d}}}7子集设A，B是集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记做BA。若集合A不包含集合B，可表示成包含的符号化表示为对任何集合都有SS．8从属关系与包含关系从属关系：集合S的元素a与集合S本身之间的关系，从属关系a∈S包含关系：集合A与集合B之间的关系包含关系AB9集合相等定

4、义3.2设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作A＝B，符号化表示为如果A和B不相等，则记作A≠B．10实例判断A＝B？1.2.{1,2,4}和{1,2,2,4}3.{1,2,4}和{1,4,2}4.{{1,2},4}和{1，4，2}5.{1,3,5,…}和{x

5、x是正奇数}11真子集定义3.3设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集。记作BA。如果B不是A的真子集，记作BA判断：{0，1}、｛1，3}、{0，1，2}是｛0，1，2}的真子集吗？12空集定义3.4不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为空集是客观存在的，例如，是方程的实数解集，

6、因为该方程没有实数解，所以A＝13空集是一切集合的子集定理3.1空集是一切集合的子集．证明：任给集合A，由子集定义有。14空集是唯一的推论空集是唯一的。证明假设存在空集1和2，根据集合相等的定义得1＝215确定下列命题是否为真（1），（3），（4）为真，（2）为假．16求A＝{a,b,c}的全部子集解：将A的子集从小到大分类：0元子集，即空集，只有1个：。1元子集，即单元集，有3个：{a}，{b},{c}。2元子集，有3个：{a，b}，{a,c}，{b,c}。3元子集，有1个：{a,b,c}。17幂集定义3.5给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记作P

7、(A),或设A＝{a，b，c}，由例3.2可知P(A)＝{,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}若A是n元集，则P(A)有2n个元素。18实例19全集定义3.6在一个具体问题中,如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E(或U)20L={a,b,c}令:S={XL

8、Xa}={{a},{a,b},{a,c},{a,b,c,}}令:R={X

9、XX}则:L,S是X的元素吗?R是R的元素吗?---------著名的罗素悖论213.2集合的基本运算定义3.7设A与B为集合，A与B的并集，交集，B对A的相对补集－分别定义如下：A∪B=

10、{x

11、(x∈A)∨(x∈B)}A∩B={X

12、(X∈A)∧(X∈B)}A-B={X

13、(X∈A)∧(XB)}当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的22计算：A∪B，A∩B，A-B，B-A，C-A，B∩C23n个集合的并集和交集24表示法25绝对补集定义3.8设E为全集，AE，则称A对E的相对补集为A的绝对补集，记作~A，即~A＝E--A＝{xxExA}．~A＝{xxA}．例:E＝{0