理论力学精品课程 第十三章 动量矩定理课件.ppt

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1、第十三章动量矩定理质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体绕定轴转动的微分方程刚体对轴的转动惯量质点系相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程引言由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章

2、的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。13.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩设质点某瞬时的动量为，质点相对固定点的矢径为，如图。质点M的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，即垂直于，大小等于面积的二倍，方向由右手法则确定。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量矩在相应坐标轴上的投影，即质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中，动量矩的单位是13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩1、质点系对固定点的动量矩设质点系由个

3、质点组成，其中第个质点的动量为，对任一固定点的动量矩为，则质点系对固定点的动量矩为即：质点系对任一固定点O的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和。2、质点系对固定轴的动量矩以固定点O为原点建立直角坐标轴，将上式投影到轴上，则有即：质点系对任一固定轴的动量矩定义为质点系中各质点对该固定轴动量矩的代数和。13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩3、平动刚体的动量矩设平动刚体的质量为，质心的速度为。其上任一点的质量为，速度为，则。任选一固定点，则有由于，所以即：平动刚体对任一固定点的动量矩等于视刚体为质量集中于质心的质点对该固定点的动量

4、矩。13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩4、转动刚体对转轴的动量矩设刚体绕定轴转动的角速度为，刚体上任一质点的质量为，到转轴的距离为，则其速度的大小为，于是有令称为刚体对转轴的转动惯量，于是有即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩例1均质圆盘可绕轴转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物。若圆盘对转轴的转动惯量为，半径为，角速度为，重物的质量为，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴的动量矩。解：的转向沿逆时针方向。13.2动量矩定理一、质点的动量矩定理设质点对固定

5、点的动量矩为，作用力对同一点的矩为，如图所示。将动量矩对时间取一次导数，得由，且，则上式可改写为因为，，于是得13.2动量矩定理一、质点的动量矩定理即：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于质点所受的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得即：质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。13.2动量矩定理一、质点的动量矩定理在特殊情况下，若，则若，则即：若作用在质点上的作用力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（

6、或常量）。这就是质点的动量矩守恒定理。13.2动量矩定理一、质点的动量矩定理例2图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为，摆线长为，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为，摆的偏角为，则式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。13.2动量矩定理一、质点的动量矩定理由，得即这就是单摆的运动微分方程。当很小时摆作微摆动，，于是上式变为此微分方程的解为其中和为积分常数，取决于初始

7、条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为显然，周期只与有关，而与初始条件无关。13.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理设质点系内有个质点，作用于每个质点的力分为外力和内力。由质点的动量矩定理有这样的方程共有个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项上式左端为于是得13.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理即：质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。这就是质点系的动量矩定理。应用时，取投影式即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。13.2动

8、量矩定理二、质点系的动量矩定理在特殊情况下，若，则若，则即：若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则