理论力学11—动量矩定理.ppt

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1、第十一章动量矩定理11动量矩定理由静力学力系简化理论知：由刚体平面运动理论知：若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。刚体绕质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出。引言平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。1质点的动量矩质点Q的动量对于点O的矩，定义为

2、质点对于点O的动量矩Mz(mv)xyzOmvrqMO(mv)质点动量mv在oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩11.1质点和质点系的动量矩定义为质点动量对于z轴的矩简称对于z轴的动量矩，是代数量。是矢量。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是kg·m2/s。[MO(mv)]z＝Mz(mv)11.1质点和质点系的动量矩11.1质点和质点系的动量矩质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。2质点系的动量矩

3、LO=ΣMO(mv)质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和。Lz=ΣMz(mv)质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影，等于质点系对该轴z的动量矩。[LO]z=Lz11.1质点和质点系的动量矩3平动刚体的动量矩刚体平动时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。4定轴转动刚体的动量矩令Jz＝Σmiri2称为刚体对z轴的转动惯量,于是得即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。11.1质点和质点系的动量矩注意：对点的动量矩是矢量，对

4、轴的动量矩是代数量。计算质点系相对于质心的动量矩时，无论是用绝对运动的动量，还是用相对于以质心为基点的平动坐标系的相对运动的动量，其计算结果是相同的。对质心之外的其它点，用上述两种方法计算的动量矩是不同的，必须用绝对运动中的动量来计算动量矩。例1均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：LO的转向沿逆时针方向。11.1质点和质点系的动量矩1质点的动量矩定理设质点Q对固定点O

5、的动量矩为MO(mv)MO(mv)mvxyzOrMO(F)F将动量矩对时间取一次导数，得11.2动量矩定理作用力F对同一点的矩为MO(F)如图所示因为所以又因为所以xyzOMO(mv)mvrMO(F)F质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。11.2动量矩定理将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。11.2动量矩定理例2图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或

6、初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，建立如图坐标，受力如图。式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标j的正负号相反。MyxNvmg11.2动量矩定理它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。在任一瞬时，摆锤的速度为v摆的偏角为j，则11.2动量矩定理由即这就是单摆的运动微分方程。此微分方程的解为其中A和α为积分常数，取决于初始条件。显然，周期只与l有关，而与初始条件无关。得可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为当j很小时，sinj≈j，

7、摆作微摆动于是上式变为设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)和内力Fi(i)。这样的方程共有n个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项11.2动量矩定理由质点的动量矩定理有2质点系的动量矩定理上式左端为于是得质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点之矩的矢量和。11.2动量矩定理11.2动量矩定理在应用质点系的动量矩定理时，取投影式质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴之矩的代数和。11.2动量矩定理3动量矩

8、守恒定律如果作用在质点系上的力对某定点之矩恒等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。则当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩守恒。由上式可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。如果作用在质点系上的力对某定轴之矩恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。则这就是质点系动量矩守恒定律。11.2动量矩定理注意：(1)内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩，只有外力矩才能使之改变。(2)动量矩