理论力学12、动量矩定理.ppt

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1、第十四章动量矩定理第十四章动量矩定理§1.质点的动量矩定理mFmvyoxzr动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，它是描述质点系随同质心的运动情况，而不能描述质点系相对于质心的运动情况。一、质点的动量矩二、质点的动量矩定理mFmvyoxzr将质点的动量矩对时间取一次导数有：投影式为:例：质量为m的质点在平面oxy内运动，其运动方程为：，其中a,b,p皆为常量，求：该质点对坐标原点o的动量矩。解：因质点在oxy平面内运动，故该质点对坐标原点的动量矩就等于对oz轴的动量矩。如果作用于质点上的力对于某定点o的矩恒等于零，则

2、质点对该点的动量矩保持不变，即：§3.质点的动量矩守恒定律如果作用于质点上的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即：§2.质点系的动量矩定理1、质点系的动量矩质点系对某点o的动量矩等于各质点对同一点o的动量矩的矢量和，即：质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴的动量矩的代数和，即：2、绕定轴转动刚体对转轴z的动量矩rimimivizω质点mi对z轴的动量矩为:整个刚体对z轴的动量矩为:即，转动刚体对转轴的动量矩为:其中，为刚体对转轴的转动惯量，为一常数.yoxz3、质点系的动量矩定理·······

3、·mimivi对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有:0即为质点系的动量矩定理ri若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。质点系动量矩定理的投影式为：m1m2OR解：研究系统，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析运动：例1：半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端分别挂有质量为m1和m2的两重物，设m1＞m2，求m1运动的加速度。滑轮及绳子的质量不计。例2：由动量矩定理可知：1、质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化

4、。2、当外力对于某定点或定轴的主矩（或力矩的代数和）等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，称动量矩守恒。1.转动惯量定义:将刚体体内各个质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量.用J表示,即式中分别为第个质点的质量和到该轴的距离J=§3.转动惯量、平移轴定理说明若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示:式中为质量为的微元到该轴的距离M表示积分范围遍及刚体全部质量.刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅与其质量分布有关的特征量M:刚体的总质量:刚体对z轴的回转半

5、径或惯量半径如刚体对z轴的转动惯量表示为它可视为将刚体的全部质量都集中于距z轴距离为的某一点对z轴的转动惯量.例：一直均质的细长杆的质量为M，长为L，求杆对通过其质心，且垂直与杆的z轴的转动惯量和回转半径。xyCx(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微段，其坐标为（x,0,0），其质量为解：=(2)上述质量微元离z轴的距离为，杆对z轴转动惯量为：(3)杆对z轴的回转半径为例：已知厚度相等的均质薄圆盘的半径为R，质量为M，求圆盘对过其中心，且垂直于圆盘平面的z轴的转动惯量和回转半径xyCr解：1．取半径为r,宽度为的圆环，

6、其质量是:3．圆盘对z轴的回转半径为2．上述圆环的各质点到z轴的距离都为r,于是圆盘对z轴的转动惯量为:说明由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分(转动惯量）刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积记为2.转动惯量的平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。可见，刚体对质心轴的转动惯量最小

7、。例：均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。CRdθrdr解：取单位厚度的圆轮研究，取一面积微元dm∵∴对轮缘上任一点，有：解：取一微元dx∵∴对杆端，有：例：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。CdxxOxz§4.刚体定轴转动的微分方程将质点系的动量矩定理应用于刚体定轴转动的情形，有：及定轴转动的动量矩即为刚体定轴转动的微分方程。刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。由上可知：1、如果作用于刚体上的主动力对转轴的力矩的代数和不等于零，则刚体的转动状态

8、一定发生改变；2、如果作用于刚体上的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动，如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀速转动。3、在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩一定时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小，转动惯量越小，转动状态变化大。刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态的难易程度，因此说，转动