理论力学第12章动量矩定理

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1、第十二章动量矩定理主要内容§12.1质点和质点系的动量矩§12.2动量矩定理§12.3刚体绕定轴的转动微分方程§12.4刚体对轴的转动惯量§12.5质点系相对于质心的动量矩定理§12.6刚体的平面运动微分方程1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零，可见动量不能表征或度量这种运动。2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。前一章中讲的动量定理并不能完全描述出质点系的运动状态。因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。动量矩定理正是描述质点系相对

2、于某一定点（或定轴）或质心的运动状态的理论动量矩定理§12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩设质点某瞬时的动量为，质点相对点的位置用矢径表示，如图质点的动量对点的矩，定义为质点对点的动量矩，即以固定点为原点建立直角坐标系，质点的坐标为，则矢径和质点速度的解析投影式：质点对点的动量矩可写为行列式形式：质点对某一固定点的动量矩是一个矢量，其方向垂直于由矢径和速度所确定的平面，其大小等于由矢径和动量所构成的平行四边形的面积，指向由右手螺旋法则确定，且质点对某定点的动量矩是一个定位矢量，应当画在矩心上。§12.1质点和质点系的动量矩质点对点的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量

3、对点的矩和对通过该点的轴的矩之间的关系可知，质点的动量对通过点的各坐标轴的矩分别为：动量对某一固定点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于动量对于该轴的动量矩动量对轴的矩是一代数量，其符号的规定与力对轴的矩的符号的规定相同，在规定了轴的正向之后，可由右手螺旋法则来确定其正方向。即动量矩在国际单位制中的单位是或§12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对某固定点的矩的矢量和称为该质点系对点的动量矩，即质点系中所有各质点的动量对于任一轴的矩的代数和，称为质点系对该轴的动量矩。质点系对点的动量矩向通过点的直角坐标系的各轴投影，即质点系对过点的轴的动量矩

4、：且有§12.1质点和质点系的动量矩三、几种刚体的动量矩的计算1、平动刚体对某固定点的动量矩：平动刚体的动量矩的计算与质点动量矩的计算公式相似，即平动刚体在计算动量矩时，可以看成是一个质点，这个质点集中了平动刚体的全部质量，位于刚体的质心，且与刚体的质心一起运动。2、绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩：令，称为刚体对轴的转动惯量。于是绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩等于刚体的角速度与刚体对该转动轴的转动惯量的乘积。§12.1质点和质点系的动量矩§12.2动量矩定理1、质点的动量矩定理设质点对定点的动量矩为，作用力对同一点的矩为，如图将动量矩对时间取一次导数，得根据质点的动

5、量定理且则上式写成因为于是得质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。将上式投影到以矩心为原点的直角坐标轴上，并注意到动量及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，可得：2、质点系的动量矩定理设质点系内有个质点，作用在每个质点的力分为内力和外力。根据质点的动量矩定理有§12.2动量矩定理这样的方程共有个，相加后得由于内力总是大小相等、方向相反成对出现，因此上式右端的第一项上式左端为于是得§12.2动量矩定理质点系动量矩定理：质点系对于某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的

6、矢量和。应用时，取投影式必须指出，上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴。对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较复杂的表达式。3、动量矩守恒定律（1）若作用于质点的力对于某固定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，即（2）若作用于质点的力对于某固定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理动画§12.2动量矩定理例题12-1M高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为

7、R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。§12.2动量矩定理M例题12-1作用于质点系的外力除力偶、重力和外，尚有轴承的反力和轨道对小车的约束力。其中对轴力矩为零。将沿轨道及其垂直方向分解为和，与相抵消。解：取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对轴的动量矩为而，则系统外力对轴的矩为§12.2动量矩定理由质点系对O轴的动量矩定理，有因，，于是解得若，则,小车的加速