理论力学 十一 动量矩定理

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1、？几个有意义的实际问题谁最先到达顶点第十一章动量矩定理？几个有意义的实际问题直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象？几个有意义的实际问题为什么二者转动方向相反？几个有意义的实际问题航天器是怎样实现姿态控制的1.质点的动量矩§11-1质点和质点系的动量矩MO(mv)=2△OAQMO(mv)定位矢量2.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。virimiyxz令：Jz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。定轴转动刚体对转轴的动量

2、矩§11-2动量矩定理1.质点的动量矩定理★质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。2.质点的动量矩守恒定律rmvFMOh有心力作用下的运动问题★有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。3.质点系的动量矩定理其中：★质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。4.质点系动量矩守恒定律如果外力系对于定点的主矩等于0，则质点系对这一点的动量矩守恒。如果外力系对于定轴之矩等于0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。解：取系统为研究对象均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴

3、O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPWvmgFOxFOy应用动量矩定理例11-1水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和2，水的体积流量为qV、密度为，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2，叶轮水平放置。求：水流对叶轮的驱动力矩。解：在dt时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩：重力——由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；相邻水流的压力——忽略不计；叶轮的反作用力矩——与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。

4、abcd例11-2abcd应用动量矩定理Mz设共有个叶片，每相邻叶片间体积流量为如右图所示，AB杆固定在转轴z上，A和B点分别悬挂有两个相同质量小球，小球间有细绳相连，系统绕z轴转动，求当解除细绳后（如右图所示），系统的转速。zaallABCDozABCD解：取系统为研究对象mgmg由得例11-3强与弱不分胜负§11-3刚体绕定轴的转动微分方程——刚体z轴的转动惯量virimiF1F2FnFiyxz★质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。★转动惯量——是刚体转动时惯性的度量aCmgO解：取摆为研究

5、对象求：微小摆动的周期。已知：m，a，JO。摆作微小摆动，有：此方程的通解为周期为例11-40OFNF求：制动所需的时间。已知：JO，0，FN，f。解：取飞轮为研究对象解得例11-5求：轴Ⅰ的角加速度。已知：J1，J2，R1，R2，i12=R2/R1M1，M2。ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象解得：例11-6§11-4刚体对轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。其单位在国际单位制中为kg·m21.简单形状物体的转动惯量

6、的计算（1）均质细直杆（2）均质圆环ROz（3）均质圆板RdO2.惯性半径（或回转半径）2.平行轴定理★两轴必须是相互平行★JZC必须是通过质心的CBAzCzlOCdm1m2OC求：O处动约束反力。已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyFOx解得：由质心运动定理例11-7解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，运动分析已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且P>Q。求：两重物的加速度及轮的角加速度。例11-8ABOQPG对O点应用质点系的动量矩定理则有由得ABOQPG解：受力分析运动分析：绕质心转动，质

7、心不动。均质圆柱半径为r，质量为m，置该圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数f求：使圆柱停止所需的时间。例11-9应用刚体定轴转动的微分方程补充方程，应用质心运动定理未知量积分未知量解得代入（1）式，得解：受力分析Q已知杆OA长为l，重为P。可绕过O点的水平轴在铅直面内转动，杆的A端用铰链铰接一半径为R、重为Q的均质圆盘，若初瞬时OA杆处于水平位置，系统静止。略去各处摩擦，求OA杆转到任意位置（用角表示）时的角速度及角加速度a。例11-10QP取圆轮为研究对象，受力如图，JAa＝0因此，＝0＝0，在杆下摆过程中，

8、圆盘作平移运动分析QPQ求OA杆的角加速度a研究整体,对O点应用动量矩定理由上式解出求O