高考数学复习专题练习第5讲 数列的综合应用.pdf

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1、第5讲数列的综合应用一、选择题1．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N＋)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于()A．52B．40C．26D．20Sn＋1－Sn解析由题意，知＝3n－2，n＋1－n∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2.∴an＝3n－5.因此数列{an}是等差数列，a5＝10.∴a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40.答案B[来源:学#科#网Z#X#X#K]n2．数列{an}满足a1＋3a2＋32a

2、3＋…＋3n－1an＝，则an＝()211A.B.3·2n－12·3n－11nC.D.2n3n11解析令n＝1，得a1＝，排除A、D；再令n＝2，得a2＝，排除C，故26选B.答案B13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋，则an＝()(n)A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn1解析a2＝a1＋ln1＋，(1)1a3＝a2＋ln1＋，…，(2)1an＝an－1＋ln1＋(n－1)234n⇒an＝a1＋ln…＝2＋lnn.[(1)(2)(3)(n－1)]答案A

3、4．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生1产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如2果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．A．5年B．6年C．7年D．8年解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案　C5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a

4、7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝()．A．7B．8C．9D．10解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，4所以d＝－a1<0.334解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，3337所以n<，则n≤9，4当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案　Cπ6．设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝85π，则[f(a3)]2－a1a5＝()．11

5、13A．0B.π2C.π2D.π216816πππ解析　设g(x)＝2x＋sinx，由已知等式得g(a1－＋ga2－＋…＋ga5－＝2)(2)(2)ππππππ0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－＞0，则有a1－＋a5－＝a2－222(2)(2)(2)ππππ＋(a4－＝2a3－＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，ga3－＞0，ga1－2)(2)(2)(2)ππππππ＞g[－(a5－＝－ga5－，ga1－＋ga5－＞0，同理ga2－＋ga4－2)](2)(2)(2)(2)(2)πππππ＞0，g(a1

6、－＋ga2－＋…＋ga5－＞0，这与“ga1－＋ga2－＋…＋2)(2)(2)(2)(2)πππg(a5－＝0”相矛盾，因此a3－＞0不可能；同理a3－＜0也不可能)；又{an}2)22ππππ3ππ是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f＝π－cos88244(2)π13＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2，选D.216答案　D二、填空题ac7．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝xy________.a＋bb＋c解析　赋值法．如令a，b，c分别为

7、2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，22ac＋＝2.xy答案　217Sn－S2n8．设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，nan＋1∈N＋.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.a11－qn解析根据等比数列的前n项和公式Sn＝，1－qa11－qna11－q2n17×－1－q1－qq2n－17qn＋16116则Tn＝＝＝qn＋－17，令a1qn1－qqn1－q(qn)16qn＝(2)n＝t，则函数g(t)＝t＋，当t＝4时函数g(t)取得最小值

8、，此时n＝t114，而＝<0，故此时Tn最大，所以n0＝4.1－q1－2答案49．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．[来源:1解析设第十名到第一名得到的资金分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋21，1∴a1＝2，