高考数学复习专题练习第3讲 导数的综合应用.pdf

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1、第3讲导数的综合应用一、选择题1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5m，则当高为________米时，容器的容积最大．解析由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x米，则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，4解15x2－11x－4＝0，得x＝1，x＝－(舍去)．15答案12．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()．A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析　设盒子容积为ycm3，盒子的高

2、为xcm，则x∈(0，5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或20(舍去)，3∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案　C3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是()．A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12，7]解析　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(

3、2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.答案　B4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()．A．{x

4、x>0}B．{x

5、x<0}C．{x

6、x<－1或x>1}D．{x

7、x<－1或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案　A5．已

8、知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f（1）f（－1）5f（n）f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，＋＝.若数列g（1）g（－1）2{g（n）}的前n项和大于62，则n的最小值为()．A．8B．7C．6D．9f（x）x解析　构造函数h(x)＝＝a，由已知条件可知h′(x)＝g（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x）－>0，则h(x)在R上为增函数，得a>1，又a＋a[g（x）]2151＝，解得a＝2或a＝(舍去)．22f（n）所以＝2n，其前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2，由2n＋1－2>6

9、2，g（n）解得2n＋1>26，∴n>5，故n的最小值为6，选C.答案　C6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1，0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是()．99A.[，＋∞)B.(0，44]99C.[，＋∞)D.(0，55]解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1，0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1，0)上恒成立，∴{2a－b－3≥0，)∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点Ob≤0，到直线2a－b－3＝0的距离d＝3，∴a2＋b2≥d2＝，∴9a2＋b2的取值范围为559[，＋∞).5

10、答案　C二、填空题7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案　(－2，2)8．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．解析　∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cosx≤1，①当a>0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0

11、0时适合；③当a<0时，a≤acosx≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a<0.综上，－1≤a≤1.答案　[－1，1]9．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析　(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3－1.设g(x)＝－3232xxx13（1－2x），则g′(x)＝，x3x411所以g(x)在区间(0，]上单调递增，