高考数学总复习教程第3讲 导数的应用

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1、高考数学总复习教程第3讲导数的应用一、本讲进度2.4函数的单调性与极值，课本P40~P422.5函数的最大值与最小值，课本P42~P46二、学习指导导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导实际问题的解决，凡是与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b(a＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2（记△y=y2－y1＞0）.于是A（x1，y1），B（x2，

2、y2）两点间连线斜率=＞0.从而==＞0.由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞y2.记△y=y2－y1＜0.则A、B连线斜率=＜0，从而==＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。而导函数值为O的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值.但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo

3、左边＞0，而在xo右边＜0，则f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo左边＜0，而在xo右边＞0，则f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo左右符号相同，则f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f(x)都大（小）.则称f(xo)就是f(x)的

4、一个极大（小）值.且=0，但=0.f(xo)却不一定就是f(x)的极值.最值是整体概念，若f(x)的定义域是R或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）,当然也有可能不存在.若f(x)的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值.三、典型例题讲评例1．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c当x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求此极小值及f(x).与极值有关，当然先研究导函数，

5、=3x2+2ax+b.3和－1应为其两根∴，第三个待定系数应由f(－1)=7求出，得c=2，∴f(x)=x3－3x2－9x+2，从而求出极小值f(3)=－25.例2．要制造一个容积为50cm3的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？若记底面半径为cm，高为hcm，则r2h=50.表面积*要求最值，先求导函数：.知时，=0.且＜时，＜0.＞时,＞0.故当时S有极小值+=(cm2).当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为≥.等号当且仅当==.即r=cm时.例3．已知x、y∈R+.x2－2x+4y2=0.求xy的最大值.初看不知怎样下手.记u=xy,则有

6、x2－2x+4=0.即u2=f(x)=－它的定义域可用4y2=2x－x2＞0求得，为(0，2).要使正数u取得最大值，须u2取得最大值.=.当=0时，x=0(舍去)或，且当x∈（0，）时，＞0.时，＜0.故f(x)在x=时取得极大值.它也是f(x)的最大值.由上可知，当x=时，（此时y=），u=xy取得最大值.本题若直接写为u=或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了.例4．已知f(x)=x2+1.g(x)=f［f(x)］.(x)=g(x)+f(x).问是否存在实数，使(x)在（－∞，－］上单调递减而在［，0］上单调递增？复合函数求单调区间在以前是很棘

7、手的问题，现在我们尝试用导数法解决这类问题(x)=f［f(x)］+f(x)=(x2+1)2+1+(x2+1)=x4+(2+)x2+2+(x)=4x3+2(2+)x.令(x)＞0.当≥－2时,为x＞0.与已知不合.当＜－2时,x∈(－,0)∪(,+∞),此时(x)在(－∞,－］,［0,］单调递减,而在［－,0］及［,+∞）单调递增.由已知,－=－,知=－3.x≤1x＞1例5．已知函数f(x)=判断f(x)在x=1处是否可导.按照定义，可导存在与均存在且相等.今知=.而=.故不存在.f(x)在x=1处不可导.在本题中，f(x)=f(x)=f(1)=1.说明f(x)在

8、x=1处连续.但不能说明